线性系统的根轨迹分析

根轨迹法：通过求开环零点和开环极点，来画出闭环极点在S平面的位置。

也是用来判断系统稳定性的。

定义：根轨迹是指系统特征方程式的根(闭环极点）随系统参量变化 在S平面

上运动而形成的轨迹。

开环传递函数里边的一个参数，或者特征方程式里边的一个参数发生变化 的时候，

它的特征根或者是闭环极点，在S平面上运行所形成的轨迹。

幅值条件是相差+-180度。

有m个零点，和n个极点。

G(S)叫前项通道的传递函数。

H(s)叫反馈通道的传递函数。

开环传递函数是G(S)*H(S)

因为闭环传递函数G(S)H(s)+1=0,

如果开环传函是如下的函数

那么它的相角条件和幅值条件是怎

么样的?

幅值条件

相角条件

开环传递函数是已知的，那么它一定能表示成零极点形式。

如下是具体的系统

, H(S)=1

G(S)H(S)=1

相角条件S对零点相角的和-S对极点相角的和。

没有零点。

极点：0，-a

根轨迹如上图。

绿线和蓝线的角相加等于180度

绿线是s点到0点的线。

蓝线是s点到-a的线。

绘制根轨迹的一些规则

规则一、系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。

规则二、当K1=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K1-->无穷时，

有m条分支趋向于开环零点，另外有n-m条分支趋向无穷远处。（n是极点个数,m是零点个数)

时，S->零点。

规则三 在S平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零

点和开环极点的数目之和为奇数。  

规则三的意思是如上图，从右开始数，如果零点和极点之和是奇数，那么这段线段

是有根轨迹的。具体如图上所示。箭 头是极点指向零点。

极点重合的情况的根轨迹

永远是极点指向零点。

规则四  根轨迹中(n-m)条趋向无穷远处分支的渐近线相角为

（渐近线与实轴交的角度）

渐近线会趋向于无穷远，渐近线上的点，s点很远，很远。

n-m=1  

n-m=2  

n-m=3 

n-m=4  

渐近线本身一定是对称于实轴。

规则五  伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为

例题：

写出开环零点和极点

零点没有

极点有三个

s(s+1)(s+2)=0

p1=0,p2=-1,p3=-2

n=3(极点个数)

m=0(零点个数)

(2) 实轴上根轨迹 （，-2] [-1,0]

起始于开环极点，终止于开环零点，或者是沿着渐近线的方向趋于无穷远。

n-m=3，有三条渐近线。

(3) 求渐近线

与实轴的交点(所有开环极点的和-开环零点的和)

图形如下

matlab 根轨迹图

这里没有零点，所以终止于无穷远。

K1

没有振荡。这种叫过阻尼。

K1=Kb,对应在粉红色的点，相当于临界状态。 临界阻尼。

KbKc  (欠阻尼)   闭环极点相当于在复频面上。这时，时域响应中，就有震荡成分。

K1>Kc的时候，系统就不稳定了。

规则六 复平面上根轨迹的分离点必须满足方程

上述条件只是确定分离点的必要条件，不是充分条件。

若实轴上两开环极点之间存在根轨迹，则一定存在分离点；

若实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则一定存在汇合点；

若实轴上的根轨迹处在开环零点和开环极点之间，可以既无分离点也无

汇合点，也可能既有分离点也有汇合点；

分离角和汇合角：分离点或汇合点的切线与正实轴的夹角。

如图

有分离点

m=3

n=2

有（m-n）1个渐近线

两个极点之间如果有根轨迹的话，一定要分开。

图二

m=2

n=1

有一个根轨迹。

根轨迹一定是上下对称的。

从（，一2]有根轨迹，从[-1,0]有根轨迹。

[-2,-1]没有根轨迹，所以值-1.577需要舍弃。

 

(1) 求出极点，零点，以及数量 

(2) 确定实轴上有根轨迹的区域

(3)画出根轨迹图(注意画根轨迹，一定要上下对称 )

(4)求分离点，对K1进行求导，求出方程的根

（5)判断求出的根，在不在根轨迹上。

（6)求出K1的值

二绘制根轨迹的基本规则

出射角——指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。

入射角——指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。

规则七

在开环复数极点处根轨迹的出射角为

在开环零点处根轨迹的入射角为

为其它开环零、极点对该出射点或入射点提供的相角。

z是零点，p是极点。

所有零点相角的和-所有极点相角的和

当s-->p5(当s趋近于p5）

规则八

根轨迹与虚轴的交点可用s=jw代入特征方程求解，或都利用劳斯判据确定。

根轨迹与虚轴相交，处于临界稳定状态。

求与虚轴的交点

s=jw 代入特征方程 s(s+1)(s+2)+k1=0

jw(jw+1)(jw+2)+K1=0

实部  

虚部  

根据上面两个方程求出

如果K1=0,那就虚部也为0，就没意义了。

第二种方法就是用劳斯判据求虚轴交点

K1=6, 通过辅助方程求根

规则九  根轨迹上每一点所对应的参数值可以按幅值条件来计算。

如下图，KC用规则8求，而Kb则用规则9求。

例题

将s=jw代入特征方程，相当于复数等于0

根轨迹是沿着渐近线走。

例题

 虚轴上出现的零极点是成对的，不改变实轴上的奇偶性。

起始于极点，终止于零点或远穷远。

1+G(S)=0

求出特征方程

对K1求导

分子为0。

出射角可以通过相角条件来求。

求出射角

p1的切线也就是出射角。