[自学记录06|*Animation]四元数、死锁与方位插值

一、前言

还记得在很久以前不知道什么时候，看到过一个TA的面经，里面提到了四元数和万向锁，当时自己也查了一些资料，但是看的也是云里雾里，恰巧这两天学校的动画原理课讲到了这，打算整理一下做个小结。

二、方位的表达方式

方位的表达方式有很多种，它们各有优缺点，所以每种方式都不能算是很完美，包括四元数也是，但四元数的提出是为了解决方位的插值问题，所以只需要它有这个优点就够了。我们本篇主要探讨的问题也正是方位的插值问题。

以下是常用的方位表示形式

矩阵形式

Fixed Angle形式(参考世界坐标系)

Euler Angle形式(参考局部坐标系)

角度位移形式(Angle and Axis)

四元数形式

1.矩阵形式

熟悉图形变换的我们知道，用矩阵可以表示旋转，并且旋转矩阵一定是正交矩阵，所以旋转矩阵有一个很好的性质就是自身的逆等于自身的转置。那么矩阵自然也可以用在方位的表达中。但如果用矩阵的方位表达形式进行插值呢？下图举一个例子为绕Z轴的旋转矩阵，假设我们从θ=90°旋转到θ=-90°。

那么得到初始状态的方位矩阵和最终状态的方位矩阵如图所示，当进行中间插值时我们发现出现了问题。得到的插值结果明显不是一个旋转矩阵，也失去了旋转矩阵特有的正交性。所以对于关键帧的方位插值我们显然不能直接使用矩阵形式。

2.Fixed Angle形式(参考世界坐标系)

Fixed Angle其实就是以世界坐标为参考系下进行的方位表达，世界坐标系静止不动由此得到不同方位唯一的表示方法。Fixed Angle进行方位表达时按照固定顺序围绕世界坐标系的坐标轴旋转3次，最常用的为x，y，z顺序（θx，θy，θz）。在插值时需要对三个角度分别进行插值。当然，无论什么形式，我们最终都是要转换成矩阵形式在计算机中计算的，Fixed Angle当然也不例外。

接下来我们看一个例子，看看Fixed Angle能不能完美的实现方位的插值。

如上图关键帧1和关键帧2，我们选取关键帧1为初始状态，关键帧2为终止状态，那么我们的理想情况是进行插值之后，关键帧1可以平滑的过度到关键帧2的姿态。那么实际情况是不是这样呢？我们取中间帧看一下就知道了。

可以看到取中间帧时，物体在三个方向上的旋转角度分量分别是45°，67.5°，45°。也就是说在插值的过程中物体并不是仅仅由绕x轴旋转就从关键帧1过度到关键帧2的，它总会在中间 “扭” 一下。这种现象被称为“死锁”或“万向锁”。之所以被称为万向锁，是因为在万向节装置中，当两个旋转轴重合时，万向节会损失一个方向的自由度，如下图。

对于上面的例子，Fixed Angle解决死锁的方案是将关键帧1(0, 90, 0)表示为(90, 90, 90)，这样经过插值之后中间帧就是(90, 67.5, 90)，但显然这样做起来很麻烦，并且无法保证方位表达的唯一性。

3.Euler Angle形式(参考局部坐标系)

Euler Angle，也就是欧拉角。本质上和Fixed Angle其实是一个东西，只不过Fixd Angle是以世界坐标为参考系，而欧拉角是以物体自身为参考系。

简单地说，就是将物体局部坐标系与世界坐标系重合；世界坐标系静止不动，局部坐标系与物体绑定，然后以局部坐标系为参考，对物体进行旋转（每次旋转时，局部坐标系随物体一起旋转）。

既然说了Fixed Angle和Euler Angle本质上是一样的只是参考系不同，那么我们就完全可以把它们之间互相转换，它们完全是逆向等价的。

4.角度位移形式(Angle and Axis)  

欧拉旋转定理

某个物体的两个空间朝向之间，存在唯一的、简单稳定的、绕某一空间轴的旋转变换。

角度：θ , 旋转轴(单位向量)：(Ax, Ay, Az)

这很好想，我们知道旋转肯定会产生一个圆环面，那么面就一定有一个法向量，也就是旋转轴对于的方向。 

Angle and Axis对方位的表示是使用一个旋转轴(单位向量)和一个角度值来表示物体的朝向，如(θ, Ax, Ay, Az)。插值方法则是对旋转轴和旋转角度分别进行插值计算。

当然了，和其它方法一样，Angle and Axis仍然需要把插值后的结果转换成矩阵形式在计算机里表示。角度位移形式转换为矩阵的公式如下。

同样的，我们举一个例子，上图所示A1单位向量为初始状态，现在要通过变换把它变为A2单位向量的最终状态。根据欧拉旋转定理，我们可以求出唯一旋转轴B，只需要A1xA2也就是叉乘就可以了，知道了旋转角度，旋转轴，单位向量，我们自然可以对旋转的角度Φ（由arccos得到）进行插值。同时也就可以对单位向量自身的旋转θ进行插值，如上图所示。

显然Angle and Axis不会产生死锁问题。但有一个问题就是Angle and Axis不适合级联表示。比如由初始状态，首先旋转(θ1, Ax1, Ay1, Az1)，然后旋转(θ2, Ax2, Ay2, Az2)，我们很难知道它相当于由初始状态旋转了多少。

三、四元数

1.用复数表示二维旋转

学过线性代数的我们应该很容易就能写出这个旋转的方程表达式。可以很容易的看到在二维平面内逆时针旋转θ，x和y对应的系数关系。 

而如果将xy平面转为复数的二维平面，我们就可以把旋转表示成为两个复数的乘法，如上图所示。这时我们发现，复数乘法结果得到的实部就是旋转后的x坐标x'，得到的虚部就是旋转后的y坐标y'。 于是我们发现，我们完全可以用复数表示二维平面内的旋转。

将旋转角度θ表示为复数形式：cosθ+sinθi

将二维平面上的点表示为复数形式：x+yi

二者相乘后的结果表示旋转后的点坐标。实部为x坐标，虚部为y坐标。

2.四元数基本概念

四元数顾名思义就是由一个实部和三个虚部构成的。

例如四元数 (a, b, c, d) = a + bi + cj + dk

(1)加减法

加减法遵循复数，对应实部，虚部相加减的规则。 

(2)乘法

乘法满足分配律，但不满足交换律。 上图右为i，j，k对应的乘积结果表。

(3)点乘

四元数的点乘可以直接当成四维向量的点乘，对应位相乘再加和即可。

(4)其它基本概念 

3.四元数表示三维空间旋转 

那么如何把四元数对应到三维空间的旋转呢

现在假设已知：

三维空间中一点v=(vx,vy,vz)，绕单位轴向量u=(ux,uy,uz)旋转θ度。

我们需要先对点和旋转角度进行处理，把它们转化位四元数。

将点v转化为四元数：p=(0, vx,vy,vz)，

将旋转参数转化为单位四元数q：

那么计算公式：

最后提取旋转变换的结果：p’的实部为0，p’的虚部为旋转后的结果。

总结：

总的来说，单位四元数相当于四维空间中的一个单位球体。它上面的每一个点定义了三维空间中的一个旋转变换。

4.四元数和其他形式的互相转化

(1)四元数转为矩阵

(2)Fixed Angle转为四元数

(3)四元数转为Fixed Angle 

5.四元数的优点 

(1)结合律表示级联变换

先对p进行q1变换，再进行q2变换，等价于把q1q2合起来一起做变换如上图所示。 

(2)适合插值

对于三维空间中的两个方位，首先，将它们表示为四元数形式：

q1= (qx1 , qy1 , qz1 , qw1)

q2= (qx2 , qy2 , qz2 , qw2)

然后，对这两个四元数进行插值即可。

四、四元数插值需要考虑的问题

1.插值点选取

对于上图所示的情况，对单位向量θ，旋转(θ,  Ax,  Ay,  Az) 和 对单位向量-θ旋转l (-θ, -Ax, -Ay, -Az)表示的方位是相同的。并且，两个单位四元数q和-q，它们也表示同一个旋转方位。

证明如下：

2.线性插值问题 

对于下图插值公式

表示旋转的四元数必须是单位长度的: |q|=1。 

其次，插值后的四元数不是单位长度的，需要对插值结果进行归一化。如下图所示

3.球面线性插值 

但仍然有问题，我们线性插值得到的结果经过归一化映射到球面上之后我们会发现，角度的变化其实并不是均匀的，显然我们不能对最终的值直接进行线性插值，而是要对角度进行球面线性插值，经过推导，我们可以得到如下图的球面线性插值公式。

 球面线性插值的特性

4.Bezier球面线性插值

对于多个四元数方位的过渡动画，球面线性插值存在一阶不连续问题。也就是方位过度形成的曲线并不连续，或者说并不平滑。这个问题我们显然很熟悉了，我们完全可以用Bezier曲线去进行平滑的过度。

我们需要根据给定的一系列四元数，在四维球面上构建分段三次Bezier样条线，沿着样条线进行四元数插值即可。

---

五、结语 

本文从比较High Level的层面上总结了一下各种表达方位的方式，涉及介绍较多，公式推导较少，关于一些详细的公式推导可以参考其它文章，有很多大佬写了很多非常好的推导过程可以参考，有兴趣的朋友可以自行学习。

三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换 - 知乎 (zhihu.com)【Unity编程】欧拉角与万向节死锁（图文版）-CSDN博客

---

在学习GAMES101的时候，我曾记得闫令琪老师说过的一句话，我们学东西分为Why，What，How这么几个步骤，How这个步骤往往是花费时间最多的，但是往往其实是最不重要的。我同样觉得，我们着重学习的应该是这些提出这些想法的创意和解决问题的思路，而不单单是公式的推导，当然并不是说推导不重要，而是我常常在想，如果把学完的知识全部忘掉，我应该剩下什么，我觉得那就是最重要的东西，对我而言，那就是解决问题思考问题的能力和对未知的好奇心。