算法专题-单调栈

定义

一句话解释单调栈，就是一个栈，里面的元素的大小按照他们所在栈内的位置，满足一定的单调性。

单调栈（Monotone Stack）：一种特殊的栈。在栈的「先进后出」规则基础上，要求「从 栈顶 到 栈底 的元素是单调递增（或者单调递减）」。其中满足从栈顶到栈底的元素是单调递增的栈，叫做「单调递增栈」。满足从栈顶到栈底的元素是单调递减的栈，叫做「单调递减栈」。

注意：这里定义的顺序是从「栈顶」到「栈底」。有的文章里是反过来的。本文全文以「栈顶」到「栈底」的顺序为基准来描述单调栈。

单调递增栈

单调递增栈：只有比栈顶元素小的元素才能直接进栈，否则需要先将栈中比当前元素小的元素出栈，再将当前元素入栈。

这样就保证了：栈中保留的都是比当前入栈元素大的值，并且从栈顶到栈底的元素值是单调递增的。

单调递增栈的入栈、出栈过程如下：

• 假设当前进栈元素为 x，如果 x 比栈顶元素小，则直接入栈。

• 否则从栈顶开始遍历栈中元素，把小于 x 或者等于 x 的元素弹出栈，直到遇到一个大于 x 的元素为止，然后再把 x 压入栈中。

下面我们以数组 [2, 7, 5, 4, 6, 3, 4, 2] 为例，模拟一下「单调递增栈」的进栈、出栈过程。具体过程如下：

最终栈中元素为 [7, 6, 4, 2]。因为从栈顶（右端）到栈底（左侧）元素的顺序为 2, 4, 6, 7，满足递增关系，所以这是一个单调递增栈。

我们以上述过程第 5 步为例，所对应的图示过程为：

单调递减栈

单调递减栈：只有比栈顶元素大的元素才能直接进栈，否则需要先将栈中比当前元素大的元素出栈，再将当前元素入栈。

这样就保证了：栈中保留的都是比当前入栈元素小的值，并且从栈顶到栈底的元素值是单调递减的。

单调递减栈的入栈、出栈过程如下：

• 假设当前进栈元素为 x，如果 x 比栈顶元素大，则直接入栈。

• 否则从栈顶开始遍历栈中元素，把大于 x 或者等于 x 的元素弹出栈，直到遇到一个小于 x 的元素为止，然后再把 x 压入栈中。

下面我们以数组 [4, 3, 2, 5, 7, 4, 6, 8] 为例，模拟一下「单调递减栈」的进栈、出栈过程。具体过程如下：

数组元素：[4, 3, 2, 5, 7, 4, 6, 8]，遍历顺序为从左到右。

最终栈中元素为 [2, 4, 6, 8]。因为从栈顶（右端）到栈底（左侧）元素的顺序为 8, 6, 4, 2，满足递减关系，所以这是一个单调递减栈。

我们以上述过程第 6 步为例，所对应的图示过程为：

单调栈适用场景

单调栈可以在时间复杂度为 $O(n)$ 的情况下，求解出某个元素左边或者右边第一个比它大或者小的元素。

所以单调栈一般用于解决一下几种问题：

• 寻找左侧第一个比当前元素大的元素。

• 寻找左侧第一个比当前元素小的元素。

• 寻找右侧第一个比当前元素大的元素。

• 寻找右侧第一个比当前元素小的元素。

下面分别说一下这几种问题的求解方法。

寻找左侧第一个比当前元素大的元素

从左到右遍历元素，构造单调递增栈（从栈顶到栈底递增）：

• 一个元素左侧第一个比它大的元素就是将其「插入单调递增栈」时的栈顶元素。

• 如果插入时的栈为空，则说明左侧不存在比当前元素大的元素。

寻找左侧第一个比当前元素小的元素

从左到右遍历元素，构造单调递减栈（从栈顶到栈底递减）：

• 一个元素左侧第一个比它小的元素就是将其「插入单调递减栈」时的栈顶元素。

• 如果插入时的栈为空，则说明左侧不存在比当前元素小的元素。

寻找右侧第一个比当前元素大的元素

从左到右遍历元素，构造单调递增栈（从栈顶到栈底递增）：

• 一个元素右侧第一个比它大的元素就是将其「弹出单调递增栈」时即将插入的元素。

• 如果该元素没有被弹出栈，则说明右侧不存在比当前元素大的元素。

从右到左遍历元素，构造单调递增栈（从栈顶到栈底递增）：

• 一个元素右侧第一个比它大的元素就是将其「插入单调递增栈」时的栈顶元素。

• 如果插入时的栈为空，则说明右侧不存在比当前元素大的元素。

寻找右侧第一个比当前元素小的元素

从左到右遍历元素，构造单调递减栈（从栈顶到栈底递减）：

• 一个元素右侧第一个比它小的元素就是将其「弹出单调递减栈」时即将插入的元素。

• 如果该元素没有被弹出栈，则说明右侧不存在比当前元素小的元素。

从右到左遍历元素，构造单调递减栈（从栈顶到栈底递减）：

• 一个元素右侧第一个比它小的元素就是将其「插入单调递减栈」时的栈顶元素。

• 如果插入时的栈为空，则说明右侧不存在比当前元素小的元素。

上边的分类解法有点绕口，可以简单记为以下条规则：

无论哪种题型，都建议从左到右遍历元素。

• 查找 「比当前元素大的元素」 就用 单调递增栈，查找 「比当前元素小的元素」 就用 单调递减栈。

• 从 「左侧」 查找就看 「插入栈」 时的栈顶元素，从 「右侧」 查找就看 「弹出栈」 时即将插入的元素。