【思考总结】数列收敛和级数收敛的联系与区别【概念辨析】

在做题的时候时常发现数列收敛和级数收敛混淆不清的情况，因此做一个总结。

概念总结

数列收敛

数列的极限存在（和前面有限项无关）。（极限不存在则称数列发散）
单调有界数列一定收敛。

级数收敛

部分和数列Sn有极限S。（极限不存在则称级数发散)
必要条件：n->∞时，un->0。

数列收敛和级数收敛的共同点

1. 数列收敛：数列的极限存在。
   级数收敛：部分和数列Sn的极限存在。
   概念上，两者都涉及到了数列收敛这个概念。

数列收敛和级数收敛的区别

1. 数列收敛要求在n趋于无穷时an极限存在。
   级数收敛要求当n趋于无穷时un极限是0
2. 数列收敛，子列一定收敛。
   数列发散，子列未必发散（1，-1，1，-1）。
   级数划分正项级数和非正项级数，
   正项级数收敛，子级数一定收敛（部分和数列有极限S，部分和子数列的极限S‘一定存在且一定小于等于S，）（已知正项级数部分和数列单调增，有上界即为收敛）
   非正项级数收敛，子级数未必收敛（交错级数-1的n次方乘以n分之1）。
   正项级数发散，子级数未必发散（此处未找到相关资料存疑，我的想法是n方分之1是n分之1的子数列，然而n方分之1构成的级数收敛）
   非正项级数发散，子级数未必发散（1，0，1，0）

总结

我认为比较重要的点如下：

1. 级数是一个表达式，是一个数列的和函数（一个数列的无穷项相加）。
2. 部分和是该数列的前n项相加的和函数。
3. 部分和数列是{Sn}形如：S1=u1，S2=u1+u2，…，Sn=u1+u2+…+un。
4. 级数收敛和数列收敛通过部分和数列联系在一起，部分和数列在n趋于无时有极限（收敛），则级数收敛。

tips

1. 数列中的每一项都是一个确定的数值，不存在无穷的情况。
2. 单调递增函数的定义是导数值大于等于0，严格单调递增函数的定义是导数值大于0。
3. 子列的定义：给定数列{Xn}，从中任意地选取无限项，按照原来的顺序组成的数列称为数列{Xn}的一个子列。