【每日一题Day343】LC2731移动机器人 | 脑筋急转弯+数学

移动机器人【LC2731】

有一些机器人分布在一条无限长的数轴上，他们初始坐标用一个下标从 0 开始的整数数组 nums 表示。当你给机器人下达命令时，它们以每秒钟一单位的速度开始移动。

给你一个字符串 s ，每个字符按顺序分别表示每个机器人移动的方向。'L' 表示机器人往左或者数轴的负方向移动，'R' 表示机器人往右或者数轴的正方向移动。

当两个机器人相撞时，它们开始沿着原本相反的方向移动。

请你返回指令重复执行 d 秒后，所有机器人之间两两距离之和。由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。

注意：

• 对于坐标在 i 和 j 的两个机器人，(i,j) 和 (j,i) 视为相同的坐标对。也就是说，机器人视为无差别的。
• 当机器人相撞时，它们 立即改变 它们的前进方向，这个过程不消耗任何时间。
• 当两个机器人在同一时刻占据相同的位置时，就会相撞。
  • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 2 并往左移动，下一秒，它们都将占据位置 1，并改变方向。再下一秒钟后，第一个机器人位于位置 0 并往左移动，而另一个机器人位于位置 2 并往右移动。
  • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 1 并往左移动，下一秒，第一个机器人位于位置 0 并往左行驶，而另一个机器人位于位置 1 并往右移动。

• 思路

  • 两个相同位置的机器人发生碰撞后，同时改变方向，相当于没有变化发生，可以近似为穿透，即每个机器人按照初始方向前进d个距离

  • 将机器人的最终位置进行排序后，计算所有机器人之间两两距离之和
    $$(nums[i]-nums[i-1])+...+(nums[i]-nums[0])=i\ast nums[i]-(nums[0]+...+nums[i-1])$$
    上述公式为第i个机器人与其左侧机器人的距离和，即 $i\ast nums[i]-前缀和$。从第0个机器人依次计算与其左侧机器人的距离和。

• 实现

  class Solution {
      public static final int MOD = (int)(1e9 + 7);
      public int sumDistance(int[] nums, String s, int d) {
          // 两个相同位置的机器人发生碰撞后，同时改变方向，相当于没有变化发生，可以近似为穿透，即每个机器人按照初始方向前进d个距离
          // 将机器人的最终位置进行排序后，计算所有机器人之间两两距离之和
          // (nums[i]-nums[i-1]) + ... + (nums[i]-nums[0]) = i * nums[i] - (nums[0] + ... +nums[i-1])
          // 上述公式为第i个机器人与其左侧机器人的距离和，即 i * nums[i] - 前缀和。从第0个机器人依次计算与其左侧机器人的距离和。
          int n = nums.length;
          long[] arr = new long[n];
          for (int i = 0; i < n; i++){
              arr[i] = (long)(nums[i] + (s.charAt(i) == 'R' ? d : -d));
          }
          Arrays.sort(arr);
          long res = 0L, sum = 0L;
          for (int i = 0; i < n; i++){
              res = (res + i * arr[i] - sum) % MOD;
              sum += arr[i];
          }
          return (int)res;
      }
  }
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  • 复杂度
    • 时间复杂度：$\mathcal{O}(n\log n)$
    • 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$