论文中的小细节——为什么论文中总是写WX而不是XW？

这是最近一个师弟问我的问题，为什么在论文里面总是写的 $Y=WX$，而不是 $Y=XW$？就算有的时候需要转置 $W$ 或者 $X$，都不写 $Y=XW$？

这个问题我最开始回答的是这就是约定俗成的写法，因为我也确实没思考过这个问题，我估计大部分的人也没有思考过这个问题，后来我发现这个是个数学问题，而不是约定俗成的写法。

• 首先，矩阵是没有交换律的，即大部分时候 $AB\ne BA$，举个直观的例子：
  $$\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]\end{array}$$

A B = [ 19 22 43 50 ] , B A = [ 23 34 31 46 ] AB=[19224350],BA=[23343146]

AB=[1943​2250​],BA=[2331​3446​]​​

• 接着，我们要考虑矩阵的本质，矩阵的本质是一种线性映射，即将一个空间中的向量按照一定的规则进行旋转、缩放。在一个常规二维坐标系中，即基向量为 $[1,0]$ 和 $[0,1]$，假设有一个矩阵：
  [ 2 − 1 1 1 ] \left[ 2−111

  21−11
  \right] [21​−11​]
  那么这个矩阵代表着将基向量变换到了 $[2,1]$ 和 $[-1,1]$，如下图所示：
  
  当这个矩阵乘以一个向量 $[0.5,2]$ 的时候，就将这个矩阵的这种旋转与拉伸给作用到了这个向量之上：
  $$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.5\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2.5\end{array}\right],$$
  如下图所示：
  
  而这只是一个举例的向量，实际上这个矩阵 $W$ 会将整个空间中的向量按照这种方式进行旋转与拉伸，即 $WX$ 中这个 $X$ 可以是任何满足矩阵乘法条件的向量。

• 第三点则是，大部分语种的阅读顺序是从左到右的，然而对于矩阵乘法，实际上是从右到左的读法。

在理解了上面三个简单的线代概念后，我们在回过头来看 $WX$ 与 $XW$ 的区别。对于 $WX$ 而言，其表达的物理意义是：X 在 W 的作用下映射到了另外一个位置，而 $XW$ 表达的物理意义是：W 在 X 的作用下映射到了另外一个位置。那么这样就能够回答为什么论文中总是 $WX$ 而不是 $XW$ 了，因为 $X$ 代表的是输入向量，$W$ 是映射函数。当然如果在你论文中 $X$ 是映射函数，$W$ 是输入数据，那你写 $XW$ 肯定是完全对的，不过这与大部分人的直觉都不同罢了。

当然还有个更简单的例子，考虑 $3\times 5$ 和 $5\times 3$，虽然最后的结果都是 $15$，但是前者代表的是有5个3，后者代表的是有3个5。