学习记忆——数学篇——案例——代数——函数——一元二次函数

重点记忆法

记忆逻辑：从图像出发，即抛物线的形状，如整体开口，位置。

跟“一元二次方程”类比记忆

1.$a{x}^2+bx+c=y$二次函数核心在于“图像”：
整体可以由： 图像（形状，上下，交点） $⟹$ $△$ $⟹$ 抛物线与x轴交点 $⟹$ 交点图形
2.$a{x}^2+bx+c=0$一元二次方程核心在于“求根”：
整体可以由： 根（多少，正负，区间） $⟹$ $△$ $⟹$ 求根公式$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$ $⟹$ 韦达定理$⟹$ 判断两根符号情况，即根多少由$△$判断，根需要求根公式，求根公式可推导韦达定理，韦达定理可判断两根符号情况。

1.图像
$⟹$ 图像的嘴巴：开口方向，a正口上，a负口下
$⟹$ 图像的比例：对称轴，$x=-\frac{b}{2a}$
$⟹$ 图像的头部：顶点值，$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
$⟹$ 图像的内部：交点图形，$△＞0$，与x轴两交点，有公共弦，长为$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$ ；顶点△面积为$\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$

2.$△$判别式
$⟹$ $b^2-4ac$
$⟹$ $△$＞0，方程有两根，$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，图像抛物线与x轴有两个交点
$⟹$ $△$＝0，方程有一根，$x$为$-\frac{b}{2a}$，图像抛物线与x轴有一个交点
$⟹$ $△$＜0，方程无根，图像抛物线与x轴没有交点
$⟹$ $y$的最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$ ＝$\frac{－△}{4a}$
$⟹$ $△$＞0，图像的弦长公式为$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ $△$＞0，图像的顶点△面积为$\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$
PS：$△$根判别式，二次函数和一元二次方程都需要它，但是它在两者间出现的作用略有不同，二次函数重于“图像”，所以$△$多用于判断图像是否与x轴交点；一元二次方程重于“求解”，所以$△$多用于判断方程根的多少。

归类记忆法

二次函数图像总结

1.三种函数形式：
一般式：$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$
配方式/顶点式：$y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
两根式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，$x_1,x_2$是函数的两个根，对称轴为$x=\frac{x_1+x_2}{2}$

2.图像特点：
二次函数$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$的图像是一条抛物线
开口方向：由a决定，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
对称轴：以$x=-\frac{b}{2a}$为对称轴。
顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
y轴截距：c。
最值：当a＞0（a＜0）时，有最小（大）值$\frac{4ac-b^2}{4a}$，无最大（小）值。
单调性：当a>0时，抛物线开口向上，函数在$(-\infty ,-\frac{b}{2a}]$上递减，在$[-\frac{b}{2a},+\infty )$上递增，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f(x{)}_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数在$(-\infty ,-\frac{b}{2a}]$上递增，在$[-\frac{b}{2a},+\infty )$上递减，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f(x{)}_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
三角形：当$△=b^2-4ac>0$时，函数图象与x轴有两个不同的交点$M_1(x_1,0),M_2(x_2,0)$，则$|M_1{M}_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$。

做题步骤总结

固定做题步骤：
一、看开口方向（注意自然语言的表达以决定对二次项系数α是否等于0进行分类讨论）二次函数，二次方程，二次不等式，抛物线（默认a≠0）函数，方程，不等式（需要对α是否等于0进行分类讨论）
二、看判别式
三、看对称轴
四、看交点值

记忆宫殿法

一元 二次函数：$y=a{x}^2+bx+c$
$a＞0$，开口向上；$a＜0$，开口向下；
$x=-\frac{b}{2a}$是函数的对称轴；
$x=-\frac{b}{2a}$，$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$是函数的顶点坐标；
$c=0$，一元 二次函数图像过坐标原点。

理解记忆法

图像结合法

数字编码法

1.一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$：
根判别式：$△=b^2-4ac$：跟盘别试，比尔见识苹果月亮
根：$x=-\frac{b}{2a}$：阿克斯，伏笔除二苹果。伏笔初二苹果。阿克斯伏笔出一二苹果。阿克思福必出一二苹果。
2.二次函数$y=a{x}^2+bx+c$：
最值：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$：外，死苹果月亮见比尔厨艺死苹果。死苹果见比尔出一丝苹果 。


根判别式=笔方-4个苹果月亮=笔儿见死苹果月亮
比尔见识苹果月亮

转图像记忆法

结合字母编码

学习记忆——英语——字母编码

1. 一元二次方程的根：$x=-\frac{b}{2a}$：2座桥，桥上有一个香蕉，桥底有两个苹果。
   或者：两颗苹果上面有根香蕉，要想托稳香蕉，得有两个横版（一个负号，一个除号）。
   
   
   或者两个苹果上面有一座桥和一根香蕉
   

2. $y=a{x}^2+bx+c$的最值：$\frac{4ac-b^2}{4a}$ ＝—$\frac{△}{4a}$
4颗苹果上面有两座桥，桥上有一个三角形。

3. 韦达定理

x为剪刀，a苹果，b香蕉，c月亮

剪头➕剪刀可以换，苹果顶着负香蕉
剪刀，剪刀，剪刀，可以换，苹果顶着月亮