运算方法和运算器

目录

定点加减运算

补码加法运算

例

补码减法运算

例

溢出概念及检测方法

溢出的检测方法及解决办法

（1）采用双进位的进位判别

（2）采用双符号为的方法

解决方法：

例

定点乘法运算

移位与舍入操作

原码一位乘法 

例

补码一位乘法

例

浮点运算

浮点加减运算

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定点加减运算

在计算机中进行加减运算，便于运算，都采用补码的形式，在运算的过程中不需要比较两数的大小和正负。

补码加法运算

            [x+y]补=[x]补+[y]补，在计算机中进行加法运算。

需要进行的过程为：

真值数---->原码----->补码----->补码相加结果----->原码------->真值数

注意：

1、符号位与数值位便于区分加逗号，且符号位参与运算中。

例

x= -1101,y=+0110, 利用加法运算求 x + y

                                      

补码减法运算

计算机中便于进行减法运算，将减法运算转换为加法运算，也就是将减数进行变号处理。

         x - y = [x]补 + [ -y ]补码= [x]补 + [ [y]补 ]变补，（[ [y]补 ]变补 = [-y]补）。

变补是在补码的基础上，不论正负，包括符号位按位取反，然后加一。

补码减法运算进行的过程为：

真值数----->原码------>补码------->减数进行变补------>补码与补码的变补相加------>原码----->真值数

例

x= -1001,y=+0101, 利用减法运算求 x - y

                                      

溢出概念及检测方法

溢出：运算的过程中，如果超出机器字长所能表示的数据范围称为溢出。

如果超出机器所能表示的最大正数，称为正溢出，反之负溢出。

溢出的检测方法及解决办法

（1）采用双进位的进位判别

一句话概括：如果在运算的过程中，数值位的最高位的进位与符号位的进位相同，则没有溢出，否则溢出。

此方法仅仅方便判断运算是否溢出，并无解决方法。

（2）采用双符号为的方法

采用将补码的符号位扩充为两位，并且参与运算。双符号位的补码也称为变形补码。  

1、如果双符号位相同：

双符号位为00，结果为正数；双符号位为11，结果为负数。

2、如果双符号位相异则溢出：

双符号位为10，结果为负溢出；双符号位为01，结果正溢出。

解决方法：

运算结束后，根据双符号位判断是否溢出。溢出的，双符号位的低位作为数值位的最高位，（换言之，整体右移，区别符号位和数值位的逗号左移一位）。

例

定点乘法运算

移位与舍入操作

在进行乘法运算前，需要了解移位的操作。二进制自身可以进行乘除运算，二进制左移相当于乘以2，右移相当于除以2。

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对于左移右移，原有的二进制数移位后如何进行补位操作，需要分情况：

无论正负数，在移位的操作过程中，符号位都保持不变。

1、原码的移位：无论正负数，符号位不变，移位后空出的位补0。

2、补码的移位：对于正数，符号位不变，无论左移还是右移，空出的位补0；

                           对于负数，符号位不变，左移时，低位补0；右移时，高位补1；

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移位操作可能出现的误差问题：

如果右移前，低位为1，右移后会出现误差；左移后，如果超出机器字长表示的范围，会溢出，出现误差。

舍入操作

移位后，如果超出机器字长的位数，需要进行舍入操作。

原码一位乘法 

  二进制的乘法操作与十进制的类似，乘数从低位依次开始与被乘数相乘，每次结果相乘后错位，最后将结果相加。但在计算机中，并不是最后把每次相乘的结果相加。

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原码一位乘法，对于n位数相乘，需进行 n 次加法和 n 次移位。

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对于原码，符号位不进行运算，两乘数的符号位采用逻辑的操作判断正负，只对数值位进行乘法运算。

  在乘法过程中需要了解的名词，乘数的每一位与被乘数相乘的称为“位积”，每一次位积的累加结果称为“部分积”。

其中在每一次的加法运算中，存放位积的寄存器和被乘数的寄存器中的内容作为一个整体右移，被乘数的低位舍去，次低位移到低位参与下一次的乘法运算，而被乘数的最高位由位积的低位补上，位积的最高位补0。

只要被乘数的低位为1，位积需要加上被乘数，低位为0，位积加上0,不变。

例

补码一位乘法

采用直接补码乘法（Booth算法）

补码的符号位参与运算。采用变形补码的方式进行操作。补码与原码不同的时，在操作的过程中会出现加减操作。位积和被乘数采用双符号位补码的形式，乘数采用单符号位补码的形式。

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补码的一位乘法需要进行 n 次累加，n - 1次移位，最后一次不用移位。

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乘法的过程与原码类似，进行移位和累加操作。不同的是，每一次部分积和位积需要判断进行加减法操作。根据被乘数的最后两位数进行判断，如果为01，部分积加上位积；10，部分积减去位积；如果两数相同，部分积加0，不变。注意：补码的移位操作，补码的部分积累加或累加进行移位操作时，双符号位不变，移位后空出的高位补与符号位相同的数。

例

浮点运算

浮点加减运算

浮点数的格式包括阶码和尾数两部分。

浮点加减运算的步骤为：对阶、尾数加减运算、规格化处理、舍入操作、溢出判断。

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步骤一：对阶

对阶的作用，在计算机中，两浮点数阶码相同，尾数加减运算时更方便。

两浮点数的阶差判断，△E=Ex-Ey

阶码判断时都采用变形补码的形式，若△E=0，阶码相同，进行下一步骤；若△E > 0,后者的阶码小，（需要对阶处理，为减小对阶过程中的误差，采用小阶码向大阶码对齐），尾数每右移一位，阶码加1，直到阶码相等为止； 若△E < 0,前者同样采取对阶处理。

步骤二：尾数加减运算

对阶完成后，尾数采用变形补码的形式进行同定点的加减运算。

步骤三：规格化处理

尾数加减后的结果进行规格化处理。若结果为非规格化，根据结果情况左移右移至规格化，每一次移位阶码也进行加减。

步骤四：舍入操作

因位数有限，尾数移位后造成的问题。常采用舍0入1（类似四舍五入，超出的位若为1，入1也就是尾数低位加1，可能会造成溢出的问题需要再次右规再次同样的操作，超出位为0，舍去）、直接置1的方法。

步骤五：溢出判断

溢出判断是根据阶码的变形补码的形式的双符号位进行判断，（浮点数的阶码决定范围，尾数的位数决定精度）。