Deep learning of free boundary and Stefan problems论文阅读复现

摘要

在这项工作中，作者提出了一个基于物理信息神经网络的多网络模型，来解决一类一般的正和逆自由边界问题，称为Stefan问题。具体地说，用两个深度神经网络来近似未知解以及任何移动边界。作者提供了三个案例研究（一维一相Stefan问题，一维二相Stefan问题，二维一相Stefan问题），每个案例分别研究了正问题和两个逆问题，相关代码可以在https://github.com/PredictiveIntelligenceLab/DeepStefan获得。

复现代码环境：

conda create -n tensorflow1x python=3.6
conda activate tensorflow1x
pip install tensorflow==1.15.5 -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install pandas -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install seaborn -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install scipy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install matplotlib -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
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1. 一维一相Stefan问题

1. Direct Stefan problem: 已知 $u_0,g(t),s_0,h_1(t),h_2(t)$ ，求解 $u(x,t):\Omega \to \mathbb{R}.$
2. Inverse Type I: 希望找到满足方程(3.1),(3.2),(3.5),(3.6)的温度分布 $u(x,t)$ ,也希望当移动边界 $s(t)$已知时重构 Dirichlet 和 Neumann 边界条件。
3. Inverse Type II: 给出域 $\Omega$ 中的一些温度测量值，试图找到满足方程 (3.1),(3.4),(3.5) 的温度解 $u(x,t)$，并确定移动边界 s(t) 的未知位置。

1.1 Direct Stefan problem

方程 (3.1)-(3.6) 中已知变量由 (3.7)-(3.8) 表示，(3.9) 和 (3.10) 分别是该问题的精确解和移动边界的解。

文章作者使用两个独立的神经网络近似潜在的 $u(x,t)$ 和 $s(t)$，训练40000epoch，一个epoch从初始条件 $x=0,$ 边界条件 $t=0,$ 和内部 $\Omega \in {\Omega }^{\ast }=[0,1]\times [0,1]$ 中各随机选择一个batch_size(128)数据点进行训练，没有用到真解。由于 $s(t)$ 在我们的问题设置中是未知的，所以我们不能简单地在 $(0,s(t)\times (0,t)$ 中进行采样点。处理这一技术问题的一种方法是对整个计算域 ${\Omega }^{\ast }$ 中的配置点进行采样，这是先验已知的，但然后通过将预测解 $u_{\theta }(x,t)$ 限制在域 $(0,s_{\beta }(t)\times (0,t)$ 来关注物理解。损失函数如下：

论文中实验结果：

复现的实验结果：


The u(x,t) relative $L_2$-error is 4.64e-04.
The s(t) relative $L_2$-error is 3.32e-04.

1.2 Inverse Type I

这种类型的逆问题也叫移动边界设计问题，这里的目标是找到满足方程 (3.1)-(3.6) 的解，并在给定自由边界 $s(t)$ 信息的情况下恢复狄利克雷和诺伊曼边界条件 $(3.18)$ 。


论文中实验结果：

复现实验结果：

The u(x,t) relative $L_2$-error is 2.48e-03.
The $u_{\theta }$(0,t) relative $L_2$-error is 3.32e-03.
The $\frac{\partial u_{\theta }}{\partial x}$(0,t) relative $L_2$-error is 5.39e-03.

1.3 Inverse Type II

给定少量测试点 { u ( x d a t a j , t d a t a j ) } j = 1 M \{u(x_{data}^j, t_{data}^j)\}_{j=1}^M {u(xdataj​,tdataj​)}j=1M​，我们想得到在域 $\Omega$ 上符合热方程(3.1)的 $u(x,t)$，以及未知边界符合(3.4)-(3.6)的 $s(t)$，这样不需要任何初始或边界条件，这是接近许多现实的应用，这样的信息可能难以获得。为了解决这个问题，依然用两个神经网络 $u_{\theta }(x,t),s_{\beta }(t)$ 近似 $u(x,t),s(t)$。损失函数如下所示：

论文中实验结果：

复现实验结果：

The u(x,t) relative $L_2$-error is 2.83e-03.
The s(t) relative $L_2$-error is 4.11e-04.

2. 一维二相Stefan问题

2.1 Direct Stefan problem

复现实验结果：

The u(x,t) relative $L_2$-error is 6.35e-04.
The s(t) relative $L_2$-error is 2.78e-04.

2.2 Inverse Type I

复现实验结果：

The u(x,t) relative $L_2$-error is 2.71e-03.
The s(t) relative $L_2$-error is 1.06e-03.

2.3 Inverse Type II

复现实验结果：


The u(x,t) relative $L_2$-error is 1.71e-03.
The s(t) relative $L_2$-error is 2.94e-04.

3. 二维一相Stefan问题

略

参考

[1] Deep learning of free boundary and Stefan problems
[2] https://github.com/PredictiveIntelligenceLab/DeepStefan