【数组】二分查找（减不减一，看初始化！）

一、力扣习题链接

704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

二、思路

这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。

例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)

到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

一句秒杀：说实话，看完下面的解释我还是一团糟，但是我可以理解的是，如果如果是左闭右开，那么right就要end-1，好的，现在我更改口令：只要初始化-1，代表着父区间右侧-1，所以接下来的子区间右侧都要乖乖听话-1；如果左闭右闭，那么由于初始化不-1，所以middle就不-1；对于所有的左区间，middle通通+1！！！！

2.1左闭右闭

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] 

区间的不同决定了二分法代码的不同！

• while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=

• if (nums[middle] > target) 的话，right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

总结：因为这里是右闭，那么引发的俩个问题：左可等于右，把左闭右开想成原型的话，右闭多了一个元素，所以要-1

例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：

发现元素在左区间，更新right

发现元素在右区间，更新left

classs Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // end指向最后一个元素的下一个位置
        while (left <= right) { //  必须是<=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

2.2左闭右开

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

• while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的

• if (nums[middle] > target) 的话，right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：

// 版本二
class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // [left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) /2);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

2.3distance函数

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
      vector<int>::iterator it=find(nums.begin(),nums.end(),target);
      if(it!=nums.end())
      return distance(nums.begin(),it);
      else
      return -1;
    }
};

 三、小结

二分法是非常重要的基础算法，为什么很多同学对于二分法都是一看就会，一写就废？

其实主要就是对区间的定义没有理解清楚，在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。

区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。

本篇根据两种常见的区间定义，给出了两种二分法的写法，每一个边界为什么这么处理，都根据区间的定义做了详细介绍。

四、拓展练习（35，34，69，367） 

以下为题解

• 35.搜索插入位置(opens new window)​​​​​​
• 34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置(opens new window)
• 69.x 的平方根(opens new window)
• 367.有效的完全平方数(opens new window)

希望给大家带来帮助！！