数据结构与算法之堆: Leetcode 313. 超级丑数 (Typescript版)

超级丑数

• https://leetcode.cn/problems/super-ugly-number/

描述

• 超级丑数 是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。
• 给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个 超级丑数 。
• 题目数据保证第 n 个 超级丑数 在 32-bit 带符号整数范围内。

示例 1

输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出：32 
解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。
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示例 2

输入：n = 1, primes = [2,3,5]
输出：1
解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。
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提示

• 1 <= n <= $10^5$
• 1 <= primes.length <= 100
• 2 <= primes[i] <= 1000
• 题目数据 保证 primes[i] 是一个质数
• primes 中的所有值都 互不相同 ，且按 递增顺序 排列

算法实现

• 首先要了解下质数
  • 又称素数，有无限个
  • 质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数
• 再看下质因数
  • 是一个数的约数，并且是质数
• 再次要了解丑数
  • 只包含因子2,3,5的正整数被称为丑数，比如4,10,12都是丑数，而7,23,111则不是丑数，另外1也是丑数
• 超级丑数
  • 和丑数不是一回事
  • 是指所有质因数都是长度为k的质数列表primes中的正整数

1 ）将问题分而治之

class Ugly {
  n: number = 0;
  primes: number[] = [];
  constructor (n: number, primes: number[]) {
    this.n = n;
    this.primes = primes;
  }
  // 获取第n个超级丑数，本质是一个查询操作
  getNthUg() {
    const res = [1]; // 超级丑数列表
    let i = 2; // 从2开始找
    const { primes, n } = this;
    while (res.length < n) {
      const arr = Ugly.getPrimes(i); // 获取当前i的所有质因数列表
      const l = arr.length; // 质因数列表长度的
      let j = 0; // 指针往上数
      // 遍历当前i的所有质因数找到和primes列表中匹配的质因数, 有一个不匹配都算失败
      for (; j < l; j++) {
        // 匹配不到则退出
        if (!primes.find(item => item === arr[j])) break;
      }
      // 这时候上面的for循环遍历完成, 而且当前i的所有质因数都匹配成功, 就可以进行下一步的操作
      if (j === l) {
        (l === 0) && primes.find((item) => item === i) && res.push(i); // 当前没有质因数(上面for不会执行)，但是当前的i在给定列表中，存储i(满足超级丑数)
        (l !== 0) && res.push(i); // 当前i存在质因数列表时，存储 i(满足超级丑数)
      }
      i++; // i 递增
    }
    return res[n - 1]; // 获取第n个
  }
  // 计算指定正整数n的质因数
  static getPrimes (n) {
    const prime = (n) => {
      const arr = []; // 存储所有的质因数
      for (let i = 2; i <= n / 2; i++) {
        if (n % i === 0 && !prime(i).length) arr.push(i); // 这里有一个递归找质因数
      }
      return arr;
    }
    return prime(n);
  }
}

function nthSuperUglyNumber(n: number, primes: number[]): number {
  const ugly = new Ugly(n, primes);
  return ugly.getNthUg();
};
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• 思路：
  • 给定任意整数，算出其质因数
  • 质因数是否在指定质因数范围内
  • 是否达到指定个数 n
• 干扰点：丑数和超级丑数不是一回事
• 正整数的质因数的算法
  • 如果这个正整数是n, 它的因数(约数)的范围一定在 [2, n/2]
  • 当然这个 n/2 可能不是整数，但是范围就在这儿
  • 先判断是否是因数: n能被i整除
  • 质因数：不仅要满足是因数，而且都是质数(除了1和它本身没有其他因数)
  • 质数如何解决呢，这里就用到了递归，如果整数后找不到其他因数，则本身就是质数
  • 这里 !prime(i).length 是判断质数的关键
• 还要注意 getNthUg 方法中的查询操作，这是一个循规蹈矩的做法，但是性能很低
  • 性能瓶颈在，查找两个数组的方法
  • 目前在 第 77 个 case 的时候, 提示：超出时间限制
  • 我们需要提升查找效率

2 ）使用堆结构来提升查找性能，优化版

class Ugly {
  n: number = 0;
  primes: MaxHeap;
  constructor (n: number, primes: number[]) {
    this.n = n;
    this.primes = new MaxHeap(primes);
  }
  // 获取第n个超级丑数，本质是一个查询操作
  getNthUg() {
    const res = [1];
    let i = 2; // 从2开始找
    const { primes, n } = this;
    while (res.length < n) {
      const arr = Ugly.getPrimes(i); // 获取当前i的所有质因数列表
      const l = arr.length; // 质因数列表长度的
      let j = 0; // 指针往上数
      // 遍历当前i的所有质因数找到和primes列表中匹配的质因数, 有一个不匹配都算失败
      for (; j < l; j++) {
        // 匹配不到则退出
        if (!primes.find(arr[j])) break;
      }
      // 这时候上面的for循环遍历完成, 而且当前i的所有质因数都匹配成功, 就可以进行下一步的操作
      if (j === l) {
        (l === 0) && primes.find(i) && res.push(i); // 当前没有质因数(上面for不会执行)，但是当前的i在给定列表中，存储i(满足超级丑数)
        (l !== 0) && res.push(i); // 当前i存在质因数列表时，存储 i(满足超级丑数)
      }
      i++; // i 递增
    }
    return res[n - 1]; // 获取第n个
  }
  // 计算指定正整数n的质因数
  static getPrimes (n) {
    const prime = (n) => {
      const arr = []; // 存储所有的质因数
      for (let i = 2; i <= n / 2; i++) {
        if (n % i === 0 && !prime(i).length) arr.push(i); // 这里有一个递归找质因数
      }
      return arr;
    }
    return prime(n);
  }
}

class MaxHeap {
  heap: number[] = [];
  max: number = 0;
  constructor (arr) {
    this.heap = arr;
    this.max = arr.length;
    this.sort();
  }
  sort () {
    const iArr = this.heap;
    const n = iArr.length;
    if (n <= 1) return iArr;
    for (let i = Math.floor(n / 2); i >= 0; i--) {
      MaxHeap.maxHeapify(iArr, i, n);
    }
    return iArr;
  }
  // 交换两个元素
  static swap (arr, i, j) {
    if (i === j) return;
    [arr[i], arr[j]] = [arr[j], arr[i]];
  }
  // 构建最大堆的过程
  static maxHeapify (Arr, i, size) {
    // 左节点（索引）
    const l = i * 2 + 1;
    // 右节点
    const r = i * 2 + 2;
    let largest = i;
    // 父节点i和左节点l做比较取最大
    if (l <= size && Arr[l] > Arr[largest]) largest = l;
    // 右节点和最大值比较
    if (r <= size && Arr[r] > Arr[largest]) largest = r;
    if (largest !== i) {
      MaxHeap.swap(Arr, i, largest)
      MaxHeap.maxHeapify(Arr, largest, size)
    }
  }
  find (val, i = 0) {
    const arr = this.heap;
    if (val > arr[i] || i > this.max) return false;
    if (val === arr[i]) return val;
    return this.find(val, i * 2 + 1) || this.find(val, i * 2 + 2);
  }
}

function nthSuperUglyNumber(n: number, primes: number[]): number {
  const ugly = new Ugly(n, primes);
  return ugly.getNthUg();
};
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• 使用堆结构，取代普通数组结构，让查找效率提升 O(n) => O(logn)
• 但是这里仍有大量递归运算，消耗太多性能
• 同样，在第77个case时出现了提示：超出时间限制

3 ）使用动态规划

function nthSuperUglyNumber (n: number, primes: number[]) {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    const m = primes.length;
    const pointers = new Array(m).fill(0);
    const nums = new Array(m).fill(1);
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        let minNum = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
        for (let j = 0; j < m; j++) {
            minNum = Math.min(minNum, nums[j]);
        }
        dp[i] = minNum;
        for (let j = 0; j < m; j++) {
            if (nums[j] == minNum) {
                pointers[j]++;
                nums[j] = dp[pointers[j]] * primes[j];
            }
        }
    }
    return dp[n];
};
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• 这是官方做法, 动态规划解决了递归的问题，由递归变成了递推
• 时间复杂度 O(nm) ≈ O($n^2$)