【每日一题】补档 AGC015D A or...or B Problem | 构造 | 困难

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给定一个区间 $[A,B]$ ，从中选出两个数 $x$ 和 $y$ ，$x$ 可以等于 $y$ ，问 $x$ 或 $y$ 的结果可以得到多少个不同的数。

数据范围

• $0\le A\le B<2^{60}$

题解

如果 $A=B$，那么答案就是 $1$ 。特判即可。

对于 $[A,B]$ 中的数，$A$ 和 $B$ 的二进制表示前缀中相同的部分或运算后的值必然是确定的，所以这部分可以不用考虑了。

举个例子：$A=13=1100_2,B=15=1111_2$，两者二进制都是以 $11$ 开头的，这部分就是确定的，故这部分可以不用考虑了。

可以将其重新设置为 $A=00_2,B=11_2$。

$B>A$ ，故两者从高位到低位的第一个不同的二进制数位 $k$，$k$ 必然是最高位。

那么我们可以把可选择的数 $x$ 和 $y$ 分为三部分，其中 $x\ge y$

• 选择 $x_k=0,y_k=0$，取值范围为：$[A,2^k-1]$
• 选择 $x_k=1,y_k=0$，取值范围为：$[2^k+A,2^{k+1}-1]$
• 选择 $x_k=1,y_k=1$，取值范围为：$[2^k,2^k+2^{s+1}-1]$ ，其中 $s$ 为从高位到低位第二个为 $1$ 的二进制位，当不存在时，$s=-1$ 。

对于 $x_k=0,y_k=0$，由于取值最小值为 $A$ ，取值最大值为 $2^k-1$ ，故或运算的值必然在这个范围内。
具体构造出值 $v\in [A,2^k-1]$，令 $x=y=v$ 即可。

对于 $x_k=1,y_k=0$，第 $k$ 位或运算结果为 $1$ ，那么只需要考虑低 $k-1$ 位。因为 $y\ge A$ ，所以或运算的结果必然 $\ge A$ ，但是低 $k-1$ 位至多是全部为 $1$ ，即 $2^k-1$ 。
具体构造出值 $v\in [2^k+A,2^{k+1}-1]$，令 $x=2^k,y=v-2^k$ 即可。

对于 $x_k=1,y_k=1$，如果 $B=2^k$ ，那么只能选择一个数。
否则 $B>2^k$ ， $s$ 为从高位到低位第二个为 $1$ 的二进制位。

对于 $bit\in (s,k)$ 的二进制位 $bit$ ，这些必然不可能为 $1$ 。
那么 $v_k,v_{k-1},\cdots ,v_{s+1}$ 这些二进制位都已确定。那么可以构造出 $[2^k,2^k+2^{s+1}-1]$ 。
具体构造出值 $v\in [2^k,2^k+2^{s+1}-1]$

• 当 $v<2^k+2^{s+1}-1$ ，$x=v,y=2^k$
• 当 $v=2^k+2^{s+1}-1$ ，$x=2^k+2^s,y=2^k+2^s-1$

当然，这里的 $x_k=1,y_k=0$ 和 $x_k=1,y_k=1$ 的取值区间可能会有交集。

因为 $2^k<2^k+A$ ，所以必然是 $2^k+2^{s+1}-1\ge 2^k+A$ ，即 $2^{s+1}-1\ge A$ ，即 $2^{s+1}>A$ ，此时 $A$ 的二进制为 $1$ 的最高位小于等于 $B$ 的二进制为 $1$ 的次高位。

时间复杂度：$O(\log \max (A,B))$ ，至多 $60$

代码

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    ll A, B;
    cin >> A >> B;
    if (A == B) {
        cout << "1\n";
        return 0;
    }

    vector<int> vecA(60), vecB(60);
    for (int i = 0; i < 60; ++i) {
        vecA[i] = A % 2;
        vecB[i] = B % 2;
        A /= 2;
        B /= 2;
    }

    while (!vecA.empty() && vecA.back() == vecB.back()) {
        vecA.pop_back();
        vecB.pop_back();
    }

    int n = int(vecA.size());

    reverse(vecA.begin(), vecA.end());
    reverse(vecB.begin(), vecB.end());

    int s = -1;
    for (int i = 1; i < vecB.size(); ++i) {
        if (vecB[i] == 1) {
            s = n - 1 - i;
            break;
        }
    }

    ll ans = 0;

    A = 0;
    for (int i = 0; i < vecA.size(); ++i) A = A * 2 + vecA[i];

    ll R = (1ll << (n - 1)) + (1ll << (s + 1)) - 1;
    ll L = A;

    if (R >= (1ll << (n - 1)) + A) {
        R = (1ll << n) - 1;
        ans = R - L + 1;
    } else {
        ans = R - L + 1;
        ans += (1ll << (n - 1)) - 1 - A + 1;
    }

    cout << ans << "\n";

    return 0;
}
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