高数：第三章:一元函数积分学

一、不定积分

2 + 3 + 3：
①2个概念：原函数、不定积分
②3种主要的求积分的方法：凑微分、换元、分部积分
③3种可积函数：有理函数、三角有理函数、简单无理函数

(一)两个基本概念：原函数、不定积分

1.原函数
原函数F(x)定义：若有F’(x)=f(x)，则称f(x)的原函数为F(x)。【f(x)的一个原函数】

2.不定积分
不定积分$\int f(x)dx=F(x)+C$。【f(x)的所有原函数】

所以说不定积分要加C，不带C的求的是 原函数F(x)。题目要的是不定积分，所以要加C：∫f(x)dx=F(x)+C

(二)原函数的存在性：原函数存在定理

1.f(x)连续，则必有原函数F(x) ，在区间I上
2.f(x)有第一类间断点，则没有原函数，在区间I上

(三)不定积分的性质

(四)基本积分公式

1.$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$ (19)

2.$\int \frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|+C$ (16)

3.$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C$

①$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{\cos x}d(\cos x)=-\ln |\cos x|+C$（凑微分）
②$\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{1}{\sin x}d(\sin x)=\ln |\sin x|+C$ （凑微分）
③$\int {\tan }^{2}xdx=\int \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx=\int ({\sec }^{2}x-1)dx=\tan x-x+C$（三角恒等变形 +拆）

4.$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$   （$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$）

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$   （$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$）

推导：

1.凑微分凑到巅峰造极，上下同乘 secx+tanx

2.拆两项

3.$\tan x$ 和 $\sec x$

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例题1：11年9.

答案：$\ln (1+\sqrt{2})$

例题2：22年18.

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(五)三种主要积分法

1.积分是求导的逆运算。
①求导：①$+-\times ÷$ ②复合求导
②积分：①$+-$：分项积分法 ②$\times$：分部积分 ③复合：换元法 (第一类换元法：凑微分 ＋ 第二类换元法) 【÷倒过来不好用，故没有应用】

2.求不定积分，方法不同，积分出来的形式可能不同，但是可能都是对的。
验证方法是求导数，看能不能得到被积函数。

1.凑微分 (第一类换元法)

2.换元法 (第二类换元法)

不定积分换元法，换元后要再换回来。
定积分换元法，换元要换上下限

①三角代换

(1)$\sqrt{a^2-x^2}$   令 $x=a\sin t$ 或 $x=a\sin t$

(2)$\sqrt{a^2+x^2}$   令 $x=a\tan t$

(3)$\sqrt{x^2-a^2}$   令 $x=a\sec t$

${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$
${\cot }^{2}x+1={\csc }^{2}x$

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例题1：三角代换
${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dx$

答案：

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②根式代换

$t=\sqrt{1-e^x}$

③倒代换

分母幂次比分子高，可考虑倒代换 $x=\frac{1}{t}$

3.分部积分

1.分部积分公式：$\int udv$ $=uv-\int vdu$ $=uv-\int v{u}^{\prime }dx$

2.何时用分部积分：适用于两类不同函数相乘
①幂×指数：$\int x{e}^{x}dx$
②幂×三角：$\int x\sin xdx$
③指数×三角：$\int e^x\sin xdx$

3.如何用分部积分：uv如何选取，凑谁进去？
①多项式$P_m(x)$×指数/三角：指数/三角凑微分
②多项式$P_m(x)$×对数/反三角：多项式$P_m(x)$凑微分
③指数×三角：凑2次指数 或 凑2次三角，移项$\frac{1}{2}$

4.8类常见被积函数：

4.其他技巧：不定积分公式、分项积分法(拆两项)、 -1 +1 、上下同乘

①不定积分公式
②拆两项
③-1 +1
④上下同乘

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例题1：660 T53

分析：根式代换，令$t=\sqrt{x+1}$

答案：

例题2：660 T56

答案：

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(六)三类常见可积函数积分

三类“积不出”：$\int e^{x^2}dx$、$\int \frac{\sin x}{x}dx$、$\int \frac{\cos x}{x}dx$ 【若累次积分碰到“积不出”的积分，要交换积分次序】
三类“积得出”：有理函数积分、三角有理式积分、简单无理函数积分

1.有理函数积分：$\int R(x)dx$

考虑拆项：
1.一般方法：部分分式法：分解因式+待定系数
2.特殊方法：加项减项拆 或 凑微分降幂

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例题1：1992  有理函数积分：凑微分降幂

例题2：19年数二   部分分式法：分解因式+待定系数
两边同乘分母，定系数ABCD的值

例题3：高数辅导讲义P91 例7

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2.三角有理式积分：$\int R(\sin x,\cos x)dx$

(1)化简方法：
①三角恒等式、诱导公式
②上下同乘
③拆项凑微分

(2)特殊方法：3种常用的换元法
①关于sinx是奇函数：令 $t=\cos x$
②关于cosx是奇函数：令 $t=\sin x$
③关于sinx、cosx都是奇函数，或都是偶函数：令 $t=\tan x$

(3)一般方法：万能代换，令 $t=\tan \frac{x}{2}$

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例1：
$\int \frac{1}{1+\cos x}dx$、$\int \frac{1}{1+\sin x}dx$、$\int \frac{1}{\sin x+\cos x}dx$、$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ （660 T56）

例2：880 P18 拆项凑微分
$\int \frac{3\sin x+\cos x}{\sin x+2\cos x}dx$

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3.简单无理函数积分：$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$

(七)不定积分杂例

1.不定积分 ⇦⇨ 变上限积分：$\int f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$

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例题1：18年18.(2)   微分方程、周期函数的定义

分析：为了凑周期函数的定义，将不定积分转化为变上限积分

答案：

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二、定积分

(一) 定积分的概念

1.定积分的定义

(1)定积分定义：$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

①定积分表示一个数值，只与积分区间[a,b]、被积函数f(x)有关，与积分变量x无关(x可换为t)
②定积分的数值，与 区间的分法、点的取法 无关

(2)将[0,1]n等分，取小区间的左端点，得：$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$$

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例题1：10年4.   二重积分的定义

分析：
定积分、二重积分的定义都是0到1上的积分，排除AB
下面提出n×n²，与上面n约分得1/n²，应该选D

答案：D

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2.定积分的几何意义

①${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}$

②${\int }_0^a\sqrt{2ax-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}$   $\frac{1}{4}$偏心圆

③${\int }_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{2}$

3.定积分的性质

(1)不等式

①保号性

Ⅰ.如果在区间$[a,b]$上 $f(x)\ge 0$，那么${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\ge 0(a<b)$

Ⅱ.如果在区间$[a,b]$上 $f(x)\le g(x)$，那么${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$

即若积分区间相同，只需要比较在此区间内被积函数的大小，即为该区间上定积分的大小关系。

Ⅲ.保号性推论：积分的绝对值≤绝对值的积分：
$|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$  (a

②估值性 (定积分估值定理)

$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

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例题1：11年4.   定积分的保号性

分析：

答案：B

例题2：24李林六(四)3.

分析：

答案：A

例题3：18年4.

分析：积分区间都是$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，只需比较该区间上被积函数的大小即可。

$f_M(x)=1,f_N(x)=\frac{1+x}{e^x}，f_K(x)=1+\sqrt{\cos x}$

显然，当$-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$时，$1+\sqrt{\cos x}>1>\frac{1+x}{e^x}$

答案：C

例题4：22年4.

答案：A

例题5：19年18.

分析：
(1)做差 $a_{n+1}-a_n<0$，证明单调递减。然后由 $\sqrt{1-x^2}$ 做三角代换 $x=\sin t$，再点火公式
(2)由(1)问递减 + 夹逼定理

答案：

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(2)积分中值定理

(1)积分中值定理：
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么在(a,b)上至少存在一个点ξ使下式成立：
$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi )(a<\xi <b) \\ f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}(a<\xi <b) \end{gathered}$$

②式称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

定积分中值定理与拉格朗日中值定理的关系：
设f(x)为F(x)的导函数，F(x)在[a,b]上连续，f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少有一点ξ (a<ξ $$f(\xi )\underset{中值定理}{\overset{定积分}{=}}\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}\underset{公式}{\overset{牛莱}{=}}\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\underset{中值定理}{\overset{拉格朗日}{=}}{F}^{\prime }(\xi )$$

(2)广义积分中值定理：
若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号，则
$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx(a\le \xi \le b)$$

(3)难点题型：积分不等式

证明积分不等式的常用方法：
(1)定积分的不等式性质：积分区间相同，f(x)${\int }_a^{b}f(x)dx<{\int }_a^{b}g(x)dx$

联系$f(x)$与$f^{\prime }(x)$：$f(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$
①${\int }_a^x|f^{\prime }(t)|dt=(x-a)\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{\prime }(x)|$【估值定理】
②$|f^{\prime }(\xi )|\le \underset{a\le x\le b}{\max }|f^{\prime }(x)|$

(2)变量代换
(3)积分中值定理
(4)变上限积分：积分不等式化函数不等式 + 单调性 【尤其是题干提供了f(x)的单调性，如$f^{\prime }(x)>0$】
(5)柯西积分不等式：$({\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx{)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx$ 【出现平方的积分】

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例题1：24李林四(三)2.   积分不等式、构造辅助函数、积分中值定理

分析：
法一：常规方法，设辅助函数，变限积分/x
法二：几何法，数形结合
法三：实在不会做，设特殊值，用排除法

答案：A

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4.可积性

f(x)在[a,b]上可积，即${\int }_a^{b}f(x)dx$存在

(二) 定积分的计算

1.凑微分

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例题1：09年11.   定积分的计算：凑微分

分析：

答案：$\frac{13}{6}$

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2.换元法

1.定积分换元要换上下限
2.换元法：

①三角代换

有根式（如$\sqrt{1-x^2}$），一般考虑三角换元：令 $x=\sin t$，则$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=\cos t$

②万能代换

③整体代换

④根式代换

⑤倒代换：$t=\frac{1}{x}$

⑥区间再现 (区间不变)

1.区间再现是什么：令$x=a+b-t$，则$f(x)=f(a+b-t)$，则${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-t)dt$

2.应用场景：区间再现通常用的情况：①积分区间不变的变量代换 ②被积函数的原函数不易求出

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例题1：12年10.   ①换元法 ②奇偶性 ③三角代换/定积分几何意义

分析：
${\int }_0^{2}x\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{2}x\sqrt{1-(x-1{)}^2}\mathrm{d}x$
令t=x-1 $={\int }_{-1}^1(t+1)\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t={\int }_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t+{\int }_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=$(奇偶性)$2{\int }_0^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t$

①定积分几何意义：$2{\int }_0^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=2\times \frac{\pi \times 1^2}{4}=\frac{\pi }{2}$

②三角代换：令t=sinθ， $2{\int }_0^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}cos\theta \cdot cos\theta \mathrm{d}\theta =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^2\theta \mathrm{d}\theta =$(点火公式) $=2\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$

答案：$\frac{\pi }{2}$

例题2：23李林四(一)11、24李林六(二)11.   换元法求定积分：整体代换、变上限积分求导、一类线积分

分析：

答案：$\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

例题3：19年18.

例题4：区间再现

区间再现，令t=1-u (令u=1-t)

例题5：区间再现

答案：

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3.分部积分

(1)分部积分公式、原则

1.分布积分公式：
${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$ $={\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$ $=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}v{u}^{\prime }dx$

2.分部积分原则：提到后面的v的顺序：三指幂对反 （反对幂指三是指u的优先级）

3.分部积分简化计算：${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(x)d(x-a)$

(2)表格积分法

1.适用范围：
表格法适用于求3种不定积分：①多项式×指数、②多项式×三角、③三角×指数
①$\int x^n\cdot e^{\alpha x}dx$
②$\int x^n\cdot \sin xdx$
③$\int \sin x\cdot e^{\alpha x}dx$

2.步骤：
(1)①②：第一行反复求导到0，第二行反复积分。斜线 加减加，最后+C
(2)③：第一行反复求导到三角循环回来，第二行反复积分。斜线 加减加，最后一列要写积分

①多项式×指数：

②多项式×三角

③三角×指数：

指数×三角 积分公式：

3.原理：

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例题1:求$\int e^x\cos xdx$

例题2：24李林四(三)13.   多项式×指数的积分：表格积分法

分析：

答案：$\frac{1}{2}$

例题3：24李林四(三)12.

分析：

答案：$\frac{\pi +2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2}{n^2\pi }[(-1{)}^n-1]\cos nx(0\le x\le \pi )$

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(3)含变限积分f(x)的定积分：用分部积分凑f(x)的导数

分部积分的一个重要特点：能凑出导数

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例题1：13年15.   求含变限积分的定积分：用分部积分凑导数

答案：$-4ln2+8-2\pi$

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4.利用 奇偶性、周期性

(1)奇函数的平移

①奇偶性：若f(x)为奇函数，则${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

②奇函数的平移：若f(x)为奇函数，则${\int }_{x_0-a}^{x_0+a}f(x-x_0)=0$

例：由奇偶性，${\int }_{-1}^{1}xdx=0$
由奇函数的平移，${\int }_1^3(x-2)dx=0$【用变量代换证明，令 $t=x-x_0$】

(2)定积分平移公式 / 区间变换公式

①${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{令x=t+c}{=}{\int }_{a-c}^{b-c}f(t+c)dt={\int }_{a-c}^{b-c}f(x+c)dx$

②${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{令x=t-c}{=}{\int }_{a+c}^{b+c}f(t-c)dt={\int }_{a+c}^{b+c}f(x-c)dx$

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例题1：24李林六(四)14.

答案：0

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5.公式

①牛顿-莱布尼茨公式

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$

要求：①f(x)在[a,b]上连续 ②F’(x)=f(x)
牛莱公式将定积分的计算，转化为找原函数，计算原函数在两端点上的差

②点火公式/华里士公式

n为奇数时，最后两项是$\frac{2}{3}\cdot 1$
n为偶数时，最后两项是$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$

③其他公式

（1）${\int }_0^{\pi }x\cdot f(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$

（2）${\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$ 【奇偶性、对称性。在y轴上方则为正，有上有下则抵消。类似可拓展到0-2π，讲义P102例4】

（3）${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx$

点火公式中，sinx和cosx等价：${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(a{\sin }^{n}t+b{\cos }^{n}t)dt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(a+b){\sin }^{n}tdt$

④几何意义：半圆、偏心圆的面积

①$y=\sqrt{1-x^2}$：以(0,0)为圆心，半径为1的上半圆。

②$y=\sqrt{2ax-x^2}$：$(x-a{)}^2+y^2=a^2$，以(a,0)为圆心的偏心上半圆。
参数方程： $\{\begin{array}{rl}x& =a+asint\\ y& =acost\end{array}$

(三) 变上限积分 (积分上限函数)

1.微积分基本定理：揭示了微分和积分的内在联系

2.变上限积分求导

三大类：【见辅导讲义P98例1】
①直接用公式： 变限积分求导公式：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt={\phi }^{\prime }(x)\cdot f[\phi (x)]$ (先对上限求个导，再代进去)

②拆两项： (x可以提出来)

③拆不出，变量代换： (x不能提出来，整体换元)

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例题1：20年12.   多元微分 + 变上限积分求导

分析：
$\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x(xy{)}^2}\cdot x=x{e}^{x^3{y}^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial (\frac{\partial f}{\partial y})}{\partial x}=e^{x^3{y}^2}+x{e}^{x^3{y}^2}\cdot y^{2}3x^2=(1+3x^3{y}^2)e^{x^3{y}^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}{|}_{(1,1)}=(1+3x^3{y}^2)e^{x^3{y}^2}{|}_{(1,1)}=(1+3)e=4e$

答案：4e

例题2：10年16.

例题3：24李林六(二)11.   一类线 + 变上限积分求导

分析：

答案：$\frac{2}{3}\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$

例题4：23李林六套卷(五)11.   多元微分 + 变上限积分求导：括号内自变量不干净：换元

分析：①换元(换元要换上下限) ②区间变换

答案：0

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3.变上限积分的性质：连续性、可导性、奇偶性

1.连续性：
f(x)可积，则${\int }_a^{x}f(t)dt$连续

2.可导性：f(x)在$x=x_0$一点处的可导性

$f(x)$在$[a,b]$上除$x=x_0\in (a,b)$外均连续，则在点$x=x_0$处，则：

3.奇偶性

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例题1：24森哥五套卷 第一套

分析：根据变上限积分的可导性，f(x)连续或在$x=x_0$处为可去间断点，则${\int }_0^{x}f(x)dx$在
在$x=x_0$处可导

答案：D

例题2：23李林六套卷(一)2.

分析：
根据变上限积分的可导性，$f(x)$在[a,b]上除$x_0$∈(a,b)点处均连续，则：
①若$f(x)$在$x=x_0$处连续 或 $x=x_0$为$f(x)$的可去间断点，则${\int }_0^{x}f(t)dt$可导。
②若$x=x_0$为$f(x)$的跳跃间断点，则${\int }_0^{x}f(t)dt$连续，不可导。

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=a$，$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=1$
①当$a=1$时，$f(x)$在$x=0$处连续，${\int }_0^{x}f(t)dt$可导
②当$a\ne 1$时，$x=0$为$f(x)$的跳跃间断点，${\int }_0^{x}f(t)dt$不可导，但连续

f是分段函数，a决定了f是连续的还是跳跃间断点，因此f的变限积分的可导性取决于a

答案：D

例题3：880 第一章综合选择11   变上限积分的可导性

分析：

答案：C

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三、广义积分 / 反常积分

定积分要求：①积分区间有限 ②被积函数有界
由此区分两种反常积分：①无穷区间的反常积分 ②无界函数的反常积分

(一) 无穷区间上的反常积分

1.定义

① ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$

② ${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$

③ ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ （后面两个都收敛，才算在(-∞,+∞)上收敛）

2.判敛散性

(1)定义：原函数好找，直接求出积分

(2)比较判别法

大的收敛，小的收敛。小的发散，大的发散。
【判收敛，要放大。判发散，要缩小】

比较判别法的极限形式

(3)P积分 (比较对象:无穷区间上的P积分)

${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{rl}p>1& 收敛\\ p\le 1& 发散\end{array}(a>0)$

举例：
${\int }_0^1\frac{1}{x}dx$：p≤1，发散

3.无穷区间的广义积分的计算

①先求不定积分，再代入上下限。代+∞就是取极限。
②答案几乎都和$\ln 2$有关

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例题1：13年12.

分析：

答案：$\ln 2$

例题2：24李林四(四)11.

分析：
先求原函数，再代入上下限求极限

答案：$\ln 2$

例题3：24李林六(四)11.

分析：
方法一：求不定积分，再代入上下限
方法二：倒带换

答案：$1-\ln 2$

例题4：23李林四(二)12.

分析：

答案：$\pi -2\ln 2$

例题5：广义积分的计算

答案：

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(二) 无界函数的广义积分 / 瑕积分

1.定义

① 设点a为函数f(x)的瑕点，${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$

② 设点b为函数f(x)的瑕点，${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$

③ 设点c为函数f(x)的瑕点 (a${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$ （后面两个都收敛，才算收敛）

2.判敛散性

(1)定义：直接求出积分

(2)比较审敛法

比较审敛法的极限形式

(3)P积分：(比较对象:无界函数的P积分)

${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}dx，{\int }_a^b\frac{1}{(b-x{)}^p}dx\{\begin{array}{rl}p<1& 收敛\\ p\ge 1& 发散\end{array}$

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例题1：16年1.

分析：

答案：C

例题2：10年3.  无界函数的反常积分审敛法

分析：

答案：D

例题3：24李林四(三)4.

分析：

答案：A

例题4：数学二13年4.

分析：

答案：D

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3.计算

瑕点：被积函数在邻域内无界的点

瑕积分的计算不难，要仔细地分离出有限部分和带瑕点的部分，后者用极限求出，常用洛必达。注意不要抄错。

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例题1：23李林六套卷(三)12.   瑕积分

答案：

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(三) Γ函数（伽马函数）

${\int }_0^{+\infty }{x}^n\cdot e^{-x}dx=n!$ $=2{\int }_0^{+\infty }{x}^{2n+1}\cdot e^{-x^2}dx$

n=0：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=0!=1$
n=1：${\int }_0^{+\infty }x\cdot e^{-x}dx=1$
n=2：${\int }_0^{+\infty }{x}^2\cdot e^{-x}dx=2$

${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

四、定积分应用

(一) 定积分的几何应用

1.平面图形的面积

1.定积分：
①直角坐标：$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$

②极坐标：$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )\mathrm{d}\theta$

2.二重积分： $S=\underset{D}{\iint }1\mathrm{d}\sigma$

2.空间体的体积

(1)旋转体体积

1.二重积分 (万能)
$V=2\pi \underset{D}{\iint }r(x,y)\mathrm{d}\sigma$       $r(x,y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

2.定积分 (特别地)：
①绕x轴：${\int }_a^b\pi f^2(x)\mathrm{d}x$

②绕y轴：${\int }_a^{b}2\pi xy\mathrm{d}x$

③平移：二重积分、奇函数的平移

(2)已知横截面面积的体积问题

$V={\int }_a^{b}S(x)dx$

3.平面曲线的弧长

1.直角坐标：$s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$

2.参数方程：$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$

3.极坐标：$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$

4.旋转体侧面积

$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$

注意：若是f(x)带有sinx，则需要分区间讨论，无穷多个区间，需要用无穷级数。而不能直接在[0,+∞)上积分

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例题1：19年17.   定积分的几何应用：求平面图形的面积、级数求和

分析：

答案：$\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi }-1}=\frac{e^{\pi }+1}{2(e^{\pi }-1)}$

例题2：23李林四(四)11.

分析：

答案：$\frac{\pi }{5(1-e^{-2\pi })}$

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(二) 定积分的物理应用

1.变力做功

(1)抽水做功

不同深度的水抽出去做功不同，原因是位移不同 :
$dW=\rho ghdV$，$W={\int }_{h_1}^{h_2}\rho ghdV$

抽水做功：水克服重力做功：$W=F\cdot s=G\cdot h=mgh=\rho Vgh$
∴$dW=\rho ghdV$

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例题1：高数辅导讲义P124例题2

例题2：

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(2)速度与路程

面积是路程

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例题1：17年4.

分析：
①交点是速度相等
②积分面积相等才是路程相等，注意甲多出来10m的路程
∴t=25时，S=10+10-20=0

答案：C

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2.水压力

1.压强：$p=\rho gh$
压力：$P=p\cdot A$

2.微元法求dP

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例题1：辅导讲义P124例1

例题2：23李林六套卷(四)12.

答案：

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3.引力