【数据结构】点分治

一.介绍

 点分治（Centroid Decomposition）是一种树分治的技术，主要用于解决树上路径问题。在树结构中，点分治的目标是将原树分解为若干棵子树，使得每个子树的大小都不超过原树大小的一半。这样的分解可以有效地减小问题的规模，从而提高算法的效率。

点分治的基本思想是选择一个合适的树节点作为"重心"（Centroid），然后以该节点为根进行递归处理。选取重心的方法是找到使得删除该节点后最大子树的大小最小的节点，这样可以保证分解后的子树规模较为平衡。

点分治的步骤如下：

1. 选择一个节点作为当前子树的重心。
2. 对于以重心为根的子树，进行路径问题的处理。
3. 递归处理重心的每个子树。

点分治的应用范围很广，常见的问题包括最近公共祖先（LCA）、树上路径权值和等。

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二.例题 

P4178 Tree - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

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三.讲解

【【AgOHの算法胡扯】点分治】https://www.bilibili.com/video/BV1PE41197md?vd_source=20176e3c6ed0103d83cbfbb40abe39fe

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四.AC

#include
#define maxn 40005
using namespace std;
int n,k;
long long ans;
struct Edge{
	int u,v,w,next;
}edge[maxn<<1];
int head[maxn],cnt;
void add(int u,int v,int w){
	edge[++cnt]=(Edge){u,v,w,head[u]}; head[u]=cnt;
}
int dp[maxn],size[maxn],root,sum; //找重心时用 
bool vis[maxn];
void getroot(int u,int fa){
	size[u]=1; dp[u]=0;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(v==fa || vis[v]) continue;
		getroot(v,u);
		size[u]+=size[v];
		dp[u]=max(dp[u],size[v]);
	}
	dp[u]=max(dp[u],n-size[u]);
	if(dp[u]
}
int dis[maxn],res[maxn],tot;
void getdis(int u,int fa){
	res[++tot]=dis[u];  //之后排序用
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(v==fa || vis[v]) continue;
		dis[v]=dis[u]+edge[i].w;
		getdis(v,u);
	} 
}
int doit(int u,int w){
	tot=0;dis[u]=w;getdis(u,0);
	sort(res+1,res+tot+1);
	int l=1,r=tot,ans=0;
	while(l<=r) (res[l]+res[r]<=k) ? (ans+=r-l,l++) : (--r);
	return ans;
}
void solve(int u){
	vis[u]=1; ans+=doit(u,0);
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(vis[v]) continue;
		ans-=doit(v,edge[i].w); //重复的减掉 
		sum=size[v];  //注意，在子树情况下，树节点的总数是变化的
		dp[0]=n; root=0;
		getroot(v,u); solve(root);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	int x,y,z;
	for(int i=1;i
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z); add(y,x,z);
	}
	scanf("%d",&k);
	dp[0]=sum=n; getroot(1,0);
	solve(root);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}