蓝桥杯每日一题2023.10.5

3420. 括号序列 - AcWing题库

题目描述

题目分析 

对于这一问题我们需要有前缀知识完全背包

完全背包的朴素写法：

#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, v[N], w[N], f[N][N];
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i];
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		for(int j = 0; j <= m; j ++)
		{
			for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
			{
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
			}
		}
	}
	cout << f[n][m] << '\n';
	return 0;
}

经行优化：

f[i][j] = f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, f[i - 1][j - 2v] + 2w, f[i - 1][j - 3v] + 3w, ...)
f[i][j - v] = max(         f[i - 1][j - v],       f[i - 1][j - 2v] + w,    f[i - 1][j - 3v] + 2w, ...)
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v] + w)

#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, v[N], w[N], f[N][N];
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i];
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		for(int j = 0; j <= m; j ++)
		{
			for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
			{
				f[i][j] = f[i - 1][j];
				if(j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
			}
		}
	}
	cout << f[n][m] << '\n';
	return 0;
}

 首先由题意知我们左右括号的数量必须相等，对于任意前缀的左括号的数量必须大于等于有括号的数量（如果小于则此处必定需要添加括号）

我们可以分为两种方案使其独立存在，一种是只添加左括号，一种是只添加右括号，这两种方案各进行一次，将方案数相乘则为总方案数，对于左右进行的操作只需用同一代码即可，我们可以只写对左括号进行操作，对于右括号操作我们只需要将字符串翻转即可实现操作

使用动态规划来记录方案数

f[i][j] ：只考虑前i部分，左括号比右括号多j 个的所有方案的集合（不同数量的左括号的方案数）

1.若s[i] == '(' f[i][j] = f[i - 1][j - 1]（考虑前i - 1部分时，左括号数量比右括号数量多j - 1个，那么第i部分左括号就比右括号多j个）

2.若s[i] == ')' f[i][j] = f[i - 1][j + 1] + f[i - 1][j] + ... + f[i - 1][0]（考虑前i - 1部分左括号数量最多比右括号数量多j + 1个，才能在第i部分通过添加或者不加左括号使左括号的数量比右括号的数量多j个）注：这里类似于完全背包的优化：f[i][j] = f[i - 1][j + 1] + f[i][j - 1]，考虑越界问题，f[i][0]特判(j == 0,j - 1 = -1越界）f[i][0]可以考虑前i - 1部分左括号数和右括号数相等 和 左括号数比右括号数多一个的和

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5010, mod = 1e9 + 7;
char s[N];
int n;
ll f[N][N];
ll work()
{
	memset(f, 0, sizeof f);
	f[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		if(s[i] == '(')
		{
			for(int j = 1; j <= n; j ++)f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
		}
		else
		{
			f[i][0] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][1]) % mod;
			for(int j = 1; j <= n; j ++)f[i][j] = (f[i - 1][j + 1] + f[i][j - 1]) % mod;
		}
	}
	for(int i = 0; i <= n; i ++)
	{
		if(f[n][i])return f[n][i];
	}
	return -1;
}
int main()
{
	cin >> s + 1;
	n = strlen(s + 1);
	ll l = work();
	reverse(s + 1, s + n + 1);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		if(s[i] == '(')s[i] = ')';
		else s[i] = '(';
	}
	ll r = work();
	cout << l * r % mod;
	return 0;
}