B u r n s i d e ： ∣ X / G ∣ = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ∣ X ( g ) ∣ Burnside：|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X^{(g)}| Burnside：∣X/G∣=∣G∣1g∈G∑∣X(g)∣
该题：
∣
X
/
G
∣
=
1
∣
G
∣
∑
b
2
k
Π
(
b
i
)
Π
(
c
i
!
)
|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{b}\frac{2^k}{\Pi (b_i)\Pi(c_i!)}
∣X/G∣=∣G∣1b∑Π(bi)Π(ci!)2k
事实上，Burnside中 ∑ g ∈ G \large\sum\limits_{g\in G} g∈G∑ 对应了 ∑ b n ! Π ( b i ) Π ( c i ! ) \large\sum\limits_{b}\frac{n!}{\Pi (b_i)\Pi(c_i!)} b∑Π(bi)Π(ci!)n!， ∣ X ( g ) ∣ |X^{(g)}| ∣X(g)∣ 对应了 2 k 2^k 2k（即置换子群个数 × \times × 相同置换下不动点的个数，也即置换子群个数 × \times × 颜色个数 2 的等价类个数 k 次方）。