• 微积分 - 导数


    1、导数的定义

    导数,也为叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念,导数可以理解为自变量的变化趋势,下面用一个图去展示:

    当 y = f ( x ) 的自变量 x 在一点 x_{0}上产生一个增量 Δ x 时,函数输出值的增量 Δ y与自变量增量 Δ x 的比值在 Δ x 趋于 0 的极限 \lim_{\triangle x \to 0 }如果存在,那么有:

    f'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0 }\frac{f(x_{0}+\triangle x) - f(x_{0})}{\triangle x}

    2、左右导数

    左导数: 函数 f ( x ) 在某点 x_{0} 的某一左半领域 ( x_{0} − Δ x , x_{0} ) 内有定义,当 Δ x 从左侧无限趋近于 0  时

    \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}) - f(x_{0}-\triangle x)}{\triangle x}的左极限存在,那么就称 f ( x ) 在  x_{0}点有左导数,该极限值就是左导数的值

    右导数: 函数 f ( x ) 在某点 x_{0} 的某一右半领域 (x_{0}, x_{0} + Δ x ) 内有定义,当 Δ x 从右侧无限趋近于 0  时

    \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x) - f(x_{0}) }{\triangle x}的右极限存在,那么就称 f ( x ) 在  x_{0}点有右导数,该极限值就是右导数的值

    下面的绝对值函数的左导数和右导数不相同,左导数是 − 1 ,右导数是 + 1 ,0  位置不可导 f ( x ) = ∣ x ∣ 

    3、可导函数

    函数可导的条件如下:

    • 函数在该点的去心邻域内有定义。
    • 函数在该点处的左、右导数都存在。
    • 左导数=右导数

    \sigma (x) = \frac{1}{1+e^{-x}}

    4、函数求导公式

    原函数导函数
    f(x)= C,C 是常数f '(x) = 0
    f(x)= x^{n},n 是常数且n ≠ 0f '(x) = nx^{n-1}
    f(x)= lnxf '(x) =  \frac{1}{x}
    f(x)= log_{a}x  a > 0且 a ≠ 1f '(x) = \frac{1}{xlna}
    f(x)= e^{x}f '(x) = e^{x}
    f(x)= a^{x}f '(x) = a^{x}lna
    f(x)= sinxf '(x) = cosx
    f(x)=cosxf '(x) = -sinx

    5、导数的四则运算

    导数加减: (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)

    导数乘法:(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

    导数除法:(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}

    6、复合函数求导法则

    其求导有链式法则:

    \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

    画出关系图:y → u → x ,可见从 y  到 x  有一条路径,每一段路径(对应一个导数)相乘起来。
    这个规则推广到多元复合函数也是适用的:

    (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)

    7、泰勒级数

    若函数 f ( x ) 在包含x_{0} 的某个开区间 ( a , b ) 上具有 ( n + 1 ) 阶导数,那么对于任意 x ∈ ( a , b ) 有:

    f(x) \approx f(x_{0}) + \frac{f'(x_{0})}{1!}f(x-x_{0})+ \frac{f''(x_{0})}{2!}f(x-x_{0})^{2}+\cdots + \frac{f^{n+1})(x_{0})}{(n+1)!}f(x-x_{0})^{n+1} 

  • 相关阅读:
    [React] react-router-dom的v5和v6
    Makefile 入门教程
    文件包含漏洞复习总结
    11.18 - 每日一题 - 408
    SQLZOO——1 SELECT names
    DevOps:从历史到实践的全面解析
    二:对表进行基本CRUD操作
    ELK集群设置密码
    dpdk 网卡初始化 —— 收包
    Pop!_OS 21.10升级22.04失败记录
  • 原文地址:https://blog.csdn.net/gghhb12/article/details/133516562