代码随想录 动态规划 14

1143. 最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

思路：设置二维dp数组 dp[i][j] 表示 text1 前 i-1 个字母 和 text2 前 j - 1个字母结尾 的最长公共子序列。转移方程为，当 text1[i-1] == text2[j-1] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] ,  当text1[i-1] != text2[j-1] 时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]). 因为dp[i][j] 依赖dp[i-1][j], dp[i][j-1]，所以用倒序做一维dp不方便。

二维dp

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(text2) + 1) for _ in range(len(text1) + 1)]
 
        for i in range(1, len(text1) + 1):
            for j in range(1, len(text2) + 1):
                if text1[i-1] == text2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
 
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
 
        
        return dp[-1][-1]

 

1035. 不相交的线

 

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

•  nums1[i] == nums2[j]
• 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

不相交的线其实本质上就是最长公共子序列

一维dp：使用prev来记录dp[j-1]的原值（相当于dp[i-1][j-1]), curr记录dp[j]的原值（相当于dp[i-1][j])

class Solution:
    def maxUncrossedLines(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        dp = [0] * (n + 1)  # 初始化一维DP数组
        
        for i in range(1, m + 1):
            prev = dp[i][0] # 保存上一个位置的最长公共子序列长度
            for j in range(1, n + 1):
                curr = dp[j]  # 保存当前位置的最长公共子序列长度
                if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
                    # 如果当前字符相等，则最长公共子序列长度加一
                    dp[j] = prev + 1
                else:
                    # 如果当前字符不相等，则选择保留前一个位置的最长公共子序列长度中的较大值
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - 1])
                prev = curr  # 更新上一个位置的最长公共子序列长度
        
        return dp[n]  # 返回最后一个位置的最长公共子序列长度作为结果

53. 最大子数组和

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分

思路：dp[i]的定义为，前i个元素的最大和的连续子数组。转移方程为 dp[i] = max( dp[i-1], nums[i]), 使用result记录最大值

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [0] * len(nums)
        dp[0] = nums[0]
        result = dp[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]) #状态转移公式
            result = max(result, dp[i]) #result 保存dp[i]的最大值
        return result