代码随想录算法训练营第五十天 |123.买卖股票的最佳时机III、188.买卖股票的最佳时机IV

一、123.买卖股票的最佳时机III 

题目链接/文章讲解：代码随想录

视频讲解：动态规划，股票至多买卖两次，怎么求？ | LeetCode：123.买卖股票最佳时机III_哔哩哔哩_bilibili

 思考：

至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

1. 没有操作 （也可以不设置这个状态）
2. 第一次持有股票
3. 第一次不持有股票
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

2.确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

同理

dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])

3.dp数组的初始化

dp[0][0] = 0

dp[0][1] = -prices[0]

dp[0][2] = 0 【可以理解当天买入，当天卖出】

dp[0][3] = -prices[0]

【第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少】

dp[0][4] = 0

【同理第二次卖出】

4.确定遍历顺序

从前向后

5.举例推导dp数组

代码实现： 

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vectorint>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.size() - 1][4];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n×5)

二、188.买卖股票的最佳时机IV

题目链接/文章讲解：代码随想录

视频讲解：动态规划来决定最佳时机，至多可以买卖K次！| LeetCode：188.买卖股票最佳时机4_哔哩哔哩_bilibili

思考：

这道题目可以说是动态规划：123.买卖股票的最佳时机III的进阶版，这里要求至多有k次交易

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• .....

规律：除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

vectorint>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));

2.确定递推公式

dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

 同理可以类比剩下的状态，代码如下：        

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

3.dp数组的初始化

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

4.确定遍历顺序

从前向后

5.举例推导dp数组

代码实现： 

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
 
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vectorint>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
        for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[0][j] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1;i < prices.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.size() - 1][2 * k];
    }
};

• 时间复杂度：O(n×k)，其中 n 为 prices 的长度
• 空间复杂度：O(n×k)