在前面几篇文章中，我们介绍了古诺模型(Cournot duopoly model)和斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
博弈论——连续产量古诺模型(Cournot duopoly model)
博弈论——斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
这两个模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，也就是说博弈方的决策变量都是产量，而伯特兰德模型是价格竞争模型。
同时我们也介绍了反应函数法：得益是策略多元连续函数的博弈,都可以求每个博弈方的反应函数，解出各博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种用反应函数求纳什均衡的方法,称为“反应函数法”。我们也分别用反应函数对古诺模型和斯塔克尔伯格模型进行了求解。
在这篇文章中，我们将继续推进反应函数法的使用，利用该方法来求解伯特兰德模型。
在伯特兰德价格博弈模型中，两寡头生产有一定差别的产品。产品差别指在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类产品,有很强的替代性,但又不是完全可替代。最后,仍强调两个厂商是同时决策的。假设厂商1生产产品1，厂商2生产产品2。
产品价格：P1、P2分别为厂商1、厂商2的产品价格；
潜在市场规模：a1、a2分别为产品1、产品2的潜在市场规模；
生产成本：假设两个厂商无固定成本,边际生产成本分别为c1和c2；
价格弹性：b1、b2为产品1、产品2的价格弹性；
产品的替代系数：d1、d2为两个产品的替代系数。
根据上述参数设置，我们得到了以下的模型：
假设当厂商1和厂商2价格分别为P1和 P2时,各自的需求函数为：
q
1
=
q
1
(
P
1
,
P
2
)
=
a
1
−
b
1
P
1
+
d
1
P
2
q_1=q_1 (P_1,P_2 )=a_1-b_1 P_1+d_1 P_2
q1=q1(P1,P2)=a1−b1P1+d1P2
q
2
=
q
2
(
P
1
,
P
2
)
=
a
2
−
b
2
P
2
+
d
2
P
1
q_2=q_2 (P_1,P_2 )=a_2-b_2 P_2+d_2 P_1
q2=q2(P1,P2)=a2−b2P2+d2P1
在该博弈中,两博弈方的决策变量为产品价格，因此各自的策略空间为
s
1
=
[
0
，
P
1
m
a
x
]
s_1=[0，P_{1max}]
s1=[0，P1max]和
s
2
=
[
0
，
P
2
m
a
x
]
s_2=[0，P_{2max}]
s2=[0，P2max],其中
P
1
m
a
x
P_{1max}
P1max和
P
2
m
a
x
P_{2max}
P2max是厂商1和厂商2还能卖出产品的最高价格。两博弈方的得益是各自的利润,即销售收益减去成本,它们都是双方价格的函数为:
π
1
=
π
1
(
P
1
,
P
2
)
=
P
1
q
1
−
c
1
q
1
=
(
P
1
−
c
1
)
(
a
1
−
b
1
P
1
+
d
1
P
2
)
π_1=π_1 (P_1,P_2 )=P_1 q_1-c_1 q_1=(P_1-c_1)(a_1-b_1 P_1+d_1 P_2)
π1=π1(P1,P2)=P1q1−c1q1=(P1−c1)(a1−b1P1+d1P2)
π 2 = π 2 ( P 1 , P 2 ) = P 2 q 2 − c 2 q 2 = ( P 2 − c 2 ) ( a 2 − b 2 P 2 + d 2 P 1 ) π_2=π_2 (P_1,P_2 )=P_2 q_2-c_2 q_2=(P_2-c_2)(a_2-b_2 P_2+d_2 P_1) π2=π2(P1,P2)=P2q2−c2q2=(P2−c2)(a2−b2P2+d2P1)
我们用反应函数法分析这个博弈。对上述得益函数求偏导，并且偏导为0时存在最大值：
∂
π
1
∂
P
1
=
−
2
b
1
P
1
+
c
1
b
1
+
a
1
+
d
1
P
2
\frac{∂π_1}{∂P_1}=-2b_1 P_1+c_1 b_1+a_1+d_1 P_2
∂P1∂π1=−2b1P1+c1b1+a1+d1P2
∂
π
2
∂
P
2
=
−
2
b
2
P
2
+
c
2
b
2
+
a
2
+
d
2
P
1
\frac{∂π_2}{∂P_2}=-2b_2 P_2+c_2 b_2+a_2+d_2 P_1
∂P2∂π2=−2b2P2+c2b2+a2+d2P1
令
∂
π
1
∂
P
1
=
0
\frac{∂π_1}{∂P_1}=0
∂P1∂π1=0，
∂
π
2
∂
P
2
=
0
\frac{∂π_2}{∂P_2}=0
∂P2∂π2=0得到两个厂商的反应函数为：
P
1
=
R
1
(
P
2
)
=
1
2
b
1
(
c
1
b
1
+
a
1
+
d
1
P
2
)
P_1=R_1 (P_2 )=\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1+a_1+d_1 P_2)
P1=R1(P2)=2b11(c1b1+a1+d1P2)
P
2
=
R
2
(
P
1
)
=
1
2
b
2
(
c
2
b
2
+
a
2
+
d
2
P
1
)
P_2=R_2 (P_1 )=\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2+a_2+d_2 P_1)
P2=R2(P1)=2b21(c2b2+a2+d2P1)
回顾一下我们在反应函数文章中的介绍，该博弈的纳什均衡是两条反应函数对应图像的交点
(
P
1
∗
,
P
2
∗
)
(P_1^*,P_2^*)
(P1∗,P2∗),并且这个交点需要满足：
P
1
∗
=
1
2
b
1
(
c
1
b
1
+
a
1
+
d
1
P
2
∗
)
P_1^*=\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1+a_1+d_1 P_2^*)
P1∗=2b11(c1b1+a1+d1P2∗)
P
2
∗
=
1
2
b
2
(
c
2
b
2
+
a
2
+
d
2
P
1
∗
)
P_2^*=\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2+a_2+d_2 P_1^*)
P2∗=2b21(c2b2+a2+d2P1∗)
解上述的二元一次方程组，得：
P
1
∗
=
d
1
(
a
2
+
b
2
c
2
)
+
2
b
2
(
a
1
+
c
1
b
1
)
4
b
1
b
2
−
d
1
d
2
P_1^*=\frac{d_1 (a_2+b_2 c_2 )+2b_2 (a_1+c_1 b_1)}{4b_1 b_2-d_1 d_2}
P1∗=4b1b2−d1d2d1(a2+b2c2)+2b2(a1+c1b1)
P
2
∗
=
d
2
(
a
1
+
c
1
b
1
)
+
2
b
1
(
a
2
+
b
2
c
2
)
4
b
1
b
2
−
d
1
d
2
P_2^*=\frac{d_2 (a_1+c_1 b_1 )+2b_1 (a_2+b_2 c_2)}{4b_1 b_2-d_1 d_2}
P2∗=4b1b2−d1d2d2(a1+c1b1)+2b1(a2+b2c2)
则
(
P
1
∗
,
P
2
∗
)
(P_1^*,P_2^*)
(P1∗,P2∗)为该博弈的唯一纳什均衡。将
P
1
∗
、
P
2
∗
P_1^*、P_2^*
P1∗、P2∗代入得益函数中，可以求得两个厂商的均衡得益，这里我就不再赘述了，有兴趣的读者可以自行代入计算。
谢老师的书中，对该模型的各参数做了具体假设： a 1 = a 2 = 28 ， b 1 = b 2 = 1 , d 1 = d 2 = 0.5 ， c 1 = c 2 = 2 a_1=a_2=28，b_1=b_2=1,d_1=d_2=0.5，c_1=c_2=2 a1=a2=28，b1=b2=1,d1=d2=0.5，c1=c2=2，则可以解得 P 1 ∗ = P 2 ∗ = 20 ， u 1 ∗ = u 2 ∗ = 324 P_1^*=P_2^*=20，u_1^*=u_2^*=324 P1∗=P2∗=20，u1∗=u2∗=324。
更一般的伯特兰德模型可以有n个寡头,产品也可以是无差别的。产品无差别时,可以考虑消费者对价格的敏感性问题。因为如果所有消费者对价格都非常敏感,则生产无差别产品的厂商中价格高的一方完全卖不出去,价格差别不可能存在。多寡头伯特兰德模型的分析是两寡头模型的简单推广,只需求出每个厂商对其他各个厂商价格的反应函数,解出它们的交点即可。