正太分布概率密度推导：
设 I = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x I = \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx I=∫−∞+∞2π1e−2x2dx
则：
I
2
=
∫
−
∞
+
∞
1
2
π
e
−
x
2
2
d
x
∫
−
∞
+
∞
1
2
π
e
−
y
2
2
d
y
I^2 = \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy
I2=∫−∞+∞2π1e−2x2dx∫−∞+∞2π1e−2y2dy
I 2 = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − y 2 2 d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − y 2 + x 2 2 d x d y = 1 2 π ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ ρ e − ρ 2 2 d ρ d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π [ − e − ρ 2 2 ] ∣ 0 + ∞ d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π d θ = 1 I^2 = \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy = \\ \int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{y^2 + x^2}{2}} dx dy =\\ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} \rho e^{-\frac{\rho^2}{2}}d\rho d\theta = \\ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} [- e^{-\frac{\rho^2}{2}} ] | _{0} ^{+\infty} d\theta = \\ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} d\theta = 1 I2=∫−∞+∞2π1e−2x2dx∫−∞+∞2π1e−2y2dy=∫−∞+∞∫−∞+∞2π1e−2y2+x2dxdy=2π1∫02π∫0+∞ρe−2ρ2dρdθ=2π1∫02π[−e−2ρ2]∣0+∞dθ=2π1∫02πdθ=1
故 I = 1
且：
设
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
2
d
x
=
2
π
\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx =\sqrt{2\pi}
∫−∞+∞e−2x2dx=2π