复杂度（7.23）

1.算法效率

如何衡量算法的好坏？

这里需要引入算法的复杂度

1.2算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源。因此 衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的 ， 即时间复杂度和空间复杂度 。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度 。

即： 找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

例如：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
voidFunc1(intN)
{
int count=0;
for (int i=0; i
  {
    for (int j=0; j
        {
             ++count;    
        }
  }
for (int k=0; k<2*N ; ++k)
{
++count;
}
int M=10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

F(N)=N^2+2*N+10

 我们容易看出最高阶项N^2起决定性作用，因此保留它。

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

// 计算strchr的时间复杂度？（str字符数组中查找一个字符）
const char * strchr ( const char * str, int character );
while(*str)
{
 
}

// 计算冒泡排序BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

// 计算二分（折半）查找BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

从Fac(N)到Fac（0）进行了N-1次调用，O因此结果为O(N)。

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

 F(N)=2^0+2^1+2^2+2^3+... ...+2^(N-1)

=2^N-1

2^N

面试题

消失的数字

思路1：排序+遍历（下一个数不等于这一个数+1，这个数就是消失的数字）

时间复杂度：O(logN*N) (不符合）

思路2：0-N等差数列公式计算N项和-数组中值的和，就是消失的数字

时间复杂度：O(N)(符合）

思路3：单身狗（异或）

时间复杂度：O(N)(符合）

相同为0，相异为1，相同的数只要放在一块进行了异或，就为0，与顺序无关

那么将原数组和有缺失的数组放在一起异或，结果就为消失的数。

 思路2实现：

//参数为数组指针和成员数量
int MissingNumber(int* nums, int numSize)
{
	int N = numSize;
	//求和公式求出N项和
	int ret = N*(1 + N) / 2;
	int i = 0;
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		//减去数组中的成员
		ret -= nums[i];
	}
	return ret;
}

思路3实现：

int MissingNumber(int* nums, int numSize)
{
	int N = numSize;
	//用来存放异或结果的容器
	int x = 0;
	//将原数组放进容器
	for (int i = 0; i <= N; i++)
	{
		x ^= i;
	}
	//将有缺失的数组放进去一起异或
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		//得到缺失值
		x ^= nums[i];
	}
	return x;
}
int main()
{
	int arr[5] = { 0,1,2,4,5 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	printf("%d\n", MissingNumber(arr, sz));
 
	return 0;
}

3.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 额外临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大O渐进表示法 。

注意： 函数本身运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了， 因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定 。

 例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

在这里额外申请了end，exchange，i 三块空间，为常数个，因此空间复杂度为O(1)。

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

4.常见复杂度的对比

练习：

轮转数组

给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3
输出: [5,6,7,1,2,3,4]
解释:
向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]
向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]
向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]

示例 2:

输入：nums = [-1,-100,3,99], k = 2
输出：[3,99,-1,-100]
解释: 
向右轮转 1 步: [99,-1,-100,3]
向右轮转 2 步: [3,99,-1,-100]

进阶：

• 尽可能想出更多的解决方案，至少有 三种 不同的方法可以解决这个问题。
• 你可以使用空间复杂度为 O(1) 的 原地 算法解决这个问题吗？

法1：（时间复杂度过大）

 法2：

额外申请一块空间，将n-k后面的待轮转数用strcpy拷贝到新空间数组的前面，将无需轮转的数跟随拷贝到待轮转数后面，最后将空间中的数组拷贝回原空间。

实现：

#include 
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
     int n=numsSize;
     //取模的原因是使k小于n，否则发生越界访问
     k%=n;
     int* tmp=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
     memcpy(tmp,nums+n-k,sizeof(int)*k);
     memcpy(tmp+k,nums,sizeof(int)*(n-k));
     memcpy(nums,tmp,sizeof(int)*n);
 
     free(tmp);
     tmp=NULL;
}

 法3：（一般情况下难以想到）

 实现：

#include 
void reverse(int* a,int left,int right)
{
     while(left
     {
         int tmp=a[left];
         a[left]=a[right];
         a[right]=tmp;
         left++;
         right--;
     }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
     int n=numsSize;
     k%=n;
     reverse(nums,0,n-k-1);
     reverse(nums,n-k,n-1);
     reverse(nums,0,n-1); 
}