01 MIT线性代数-方程组的几何解释

一, 线性方程的几何图像 The geometry of linear equations

线性代数的基本问题就是解n元一次方程组

eg：二元一次方程组

矩阵形式:

系数矩阵(coefficient matrix):

未知数向量:

线性方程组简记为Ax=b

二, 行图像 Row Picture

行图像遵从解析几何的描述，每个方程在平面上的图像为一条直线。找到符合方程的两个数组，就可以确定出x-y平面上的两个点，连接两点可以画出该方程所代表的直线。两直线交点即为方程组的解x=1,y=2

三, 列图像 Column Picture

在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向量的线性组合(linear combination)来构成向量b 

linear combination of columns 向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量c和d以及标量x和y，我们将xc+yd称之为c和d的一个线性组合

从几何上讲，我们是寻找满足如下要求的x和y，使得两者分别数乘对应的列向量之后相加得到向量

可以看到当蓝色的向量乘以1与红色的向量乘以2后做加法（首尾相接）就可以得到绿色的向量b=，由此可得到方程的解x=1,y=2

想象一下如果任意取x,y，则得到的线性组合又是什么？其结果就是以上两个列向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面。

四, 扩展到三元

4.1 row picture

three planes meet at one point

4.2 column picture

如果改变等号右侧的b的数值，那么对于行图像而言三个平面都改变了，而对于列图像而言，三个向量并没有发生变化，只是需要寻找一个新的组合

Can U solve Ax=b for every b? 是否对于所有的b，方程Ax=b都有解？

转化为

Do the linear combs of the columns fill 3-d space? 列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间

For this A(non-singular非奇异, invertible可逆) answer is yes

反例：若三个向量在同一平面内——比如“列3”恰好等于“列1”加“列2”，而若b不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量b。此时矩阵A为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵A不可逆条件下，不是所有的b都能令方程Ax=b有解

对n维情形则是，n个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。否则这n个列向量起不到n个的作用，其线性组合无法充满n维空间，方程组未必有解

从行图像的角度来看，三元方程组是否有解意味着什么？当方程所代表的三个平面相交于一点时方程有唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。

五, 矩阵与向量的乘法

列图像：Ax是矩阵A列向量的线性组合  Ax is a comb of columns

也可以通过将矩阵A的行向量和x向量进行点积来计算