矩阵与拉普拉斯展开定理求解多元一次方程组

1、引言

跟几个初中学聊起，问了他们的数学学的如何？函数是什么？因为函数对于初中生来说是很重要的一个初次接触，刚接触的时候都会有点懵，于是想让这些初中生尽快熟悉而不用感到陌生与害怕。

按照定义来说，函数指一个量随着另一个量的变化而变化，含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

当然对于这些定义，在感到困惑之前，我让他们不要去死记，于是打个通俗的比方，好比买一条鱼，可以做成红烧鱼也可以做成清蒸鱼，这个烹饪的方法就是函数，也就是不同的烹饪就是不同的函数，就会产生不同的结果。
因为初中开始学习二元一次方程组和三元一次方程组了，于是就更加通俗的说，看他们还有点困惑，就让他们直接将方程当作是函数。

接下来就问了他们会解方程组吗？通过消元法都能够搞定，于是我说，那四元一次方程组、十元一次方程组，甚至百元一次方程组能不能解答，这个时候他们就感觉到复杂了。

2、单元矩阵

所以针对这些问题，我特地做了一张图，通过矩阵的解法让他们了解到数学的有趣，拓展初中生的知识面，如下： 

求解多元一次方程组，属于线性代数，这个在前面的一篇文章也有相关介绍，可以查阅：线性代数的相关计算(numpy)
我们来看下三元一次方程组，通过numpy自带的线性代数algebra(np.linalg)来处理：

M=np.mat('1 1 1;0 2 -4;3 2 -6')
A=np.array([0,6,8])
print(np.round(np.linalg.solve(M,A)))
#[ 0.  1. -1.]

所以解为x=0,y=1,z=-1，我们可以验证下：系数矩阵M和未知数的解，做点积运算，结果应该是A(方程组结果列)

print(np.array(np.dot(M,[0,1, -1])).flatten())
#[0 6 8]

M=np.mat('1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9')
'''
matrix([[ 1, -2,  1],
        [ 0,  2, -8],
        [-4,  5,  9]])
'''
A=np.array([0,8,-9])
print(np.linalg.solve(M,A))
#[29. 16.  3.]

所以解为x=29,y=16,z=3
同样的来验证一下

print(np.array(np.dot(M,[29,16,3])).flatten())#[ 0  8 -9]

3、拉普拉斯展开

还可以使用拉普拉斯展开来求线性方程组的解，这里有几个知识点，余子式和拉普拉斯展开，这里截取来自百度百科的一张图：

其实我们可以这样去理解，元素所在的行列当作消消乐一样的消掉，剩下的就是余子式，然后根据公式进行计算。

import copy
#系数矩阵
#余子式：在n阶行列式中，把所在的第i行与第j列划去后，所留下来的n-1阶行列式
def get_minor(j, matrix):
    result = []
    for row in range(len(matrix)):
        if row == 0:
            continue
        temp = []
        for col in range(len(matrix)):
            if col == j:
                continue
            temp.append(matrix[row][col])
        result.append(temp)
    return result
 
 
#拉普拉斯展开定理，递归求解行列式的值
def laplace_expansion(matrix):
    if len(matrix) == 2:
        return matrix[1][1] * matrix[0][0] - matrix[1][0] * matrix[0][1]
    elif len(matrix) > 2:
        result = 0
        for i in range(len(matrix)):
            minor_item = get_minor(i, matrix)
            #print(minor_item)
            result += (matrix[0][i] * ((-1) ** i) * laplace_expansion(minor_item))
        return result
 
#将常数列(等号右边的数)加入进来
def replace(i, a, b):
    dim = len(a)
    result = copy.deepcopy(a)
    for j in range(dim):
        result[j][i] = b[j]
    return result
 
 
if __name__ == "__main__":
    A = [[1,1,1],[0,2,-4],[3,2,-6]]
    B = [0,6,8]
 
    A = [[1,-2,1],[0,2,-8],[-4,5,9]]
    B = [0,8,-9]
 
    #A = [[1,2,2,3],[0,-2,3,1],[0,2,-1,2],[1,4,2,4]]
    #B = [6,9,10,-2]
 
    result = []
    c = laplace_expansion(A)
    #print(c)
    if c == 0:print("没有解")
    else:
        for i in range(len(A)):
            m = replace(i,A,B)
            print(m)
            result.append(laplace_expansion(m)/c)
            #print(result)
        print(result)