理解随机变量
X
X
X和
x
x
x的区别，
F
X
(
x
)
F_X(x)
FX(x)、
f
X
(
x
)
f_X(x)
fX(x)
X
X
X代表的是随机变量，
x
x
x是样本值，是
X
X
X的具体取值，分布函数
F
X
(
x
)
F_X(x)
FX(x)和概率密度
f
X
(
x
)
f_X(x)
fX(x)中的下角标大写
X
X
X代表的就是随机变量，
x
x
x是自变量取值。
e
.
g
.
P
(
X
=
x
)
=
0.3
e.g. P(X=x)=0.3
e.g.P(X=x)=0.3
F
X
(
x
)
F_X(x)
FX(x)和
F
X
(
y
)
F_X(y)
FX(y)的理解
问：
F
X
(
y
)
F_X(y)
FX(y)是谁的函数？对
F
X
(
y
)
F_X(y)
FX(y)求导得到的是谁的概率密度函数？
e
.
g
.
e.g.
e.g.
已知随机变量X的分布函数是F_X(x)，随机变量
Y
=
X
2
Y = \frac{X}{2}
Y=2X，求Y的概率密度函数$
解：
F
Y
(
y
)
=
P
{
Y
≤
y
}
=
P
{
X
2
≤
y
}
=
P
{
X
≤
2
y
}
=
F
X
(
2
y
)
F_Y(y)=P\{Y≤y\}=P\{\frac{X}{2}≤y\}=P\{X≤2y \}=F_X(2y)
FY(y)=P{Y≤y}=P{2X≤y}=P{X≤2y}=FX(2y)
f
Y
(
y
)
=
2
f
X
(
2
y
)
f_Y(y)=2f_X(2y)
fY(y)=2fX(2y)(求导后由分布函数变成概率密度函数)
总结：
F
X
(
2
y
)
F_X(2y)
FX(2y)虽然右下角下标是
X
X
X，但它依然是
y
y
y的函数，对
F
X
(
2
y
)
F_X(2y)
FX(2y)求导的本质是对
y
y
y求导，得到
2
f
X
(
2
y
)
2f_X(2y)
2fX(2y)，这是一个复合函数求导，先对
F
X
(
x
)
F_X(x)
FX(x)求导，再对
x
=
2
y
x=2y
x=2y求导
F
(
x
)
F(x)
F(x)和
F
(
X
)
F(X)
F(X)的理解
F
(
x
)
F(x)
F(x)是
F
X
(
x
)
F_X(x)
FX(x)的简写，是
X
X
X的分布函数，那
F
(
X
)
F(X)
F(X)是____？
理解：给随机变量
X
X
X作用一个函数
F
(
)
F()
F()，得到的
F
(
X
)
F(X)
F(X)是一个新的随机变量，一般做题时令
Y
=
F
(
X
)
Y=F(X)
Y=F(X)，去求
Y
Y
Y的分布函数、概率密度函数或者数字特征.
e.g.
2019年（数一、数三）14题
设随机变量X的概率密度为
f
(
x
)
=
{
x
2
0
<
x
<
2
0
其他
f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2} & 0
解：
E
X
=
∫
0
2
x
⋅
x
2
d
x
=
x
3
6
∣
0
2
=
4
3
EX= \int_{0}^{2}x\cdot\frac{x}{2}dx=\frac{x^3}{6}|_{0}^{2}=\frac{4}{3}
EX=∫02x⋅2xdx=6x3∣02=34
现在就是求
P
{
F
(
X
)
>
1
3
}
P\{ F(X)>\frac{1}{3}\}
P{F(X)>31}，令
Y
=
F
(
X
)
Y=F(X)
Y=F(X)，注意这是个随机变量（不是分布函数），但我们需要先求x的分布函数
F
(
x
)
=
{
0
x
<
0
∫
0
x
x
2
d
x
=
x
2
4
0
≤
x
<
2
1
x
≥
2
F(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\\int_{0}^{x}\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4} & 0≤x<2 \\ 1&x≥2 \end{cases}
F(x)=⎩
⎨
⎧0∫0x2xdx=4x21x<00≤x<2x≥2
由于
F
(
X
)
F(X)
F(X)和
F
(
x
)
F(x)
F(x)的对应法则是一样的，所以直接把
x
x
x变成
X
X
X即可得到
F
(
X
)
F(X)
F(X)
F
(
X
)
=
{
0
X
<
0
X
2
4
0
≤
X
<
2
1
X
≥
2
F(X)=\begin{cases} 0 & X<0 \\ \frac{X^2}{4} & 0≤X<2 \\ 1&X≥2 \end{cases}
F(X)=⎩
⎨
⎧04X21X<00≤X<2X≥2