【每日一题】ARC071D - ### | 前缀和 | 简单

题目内容

原题链接

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ 和一个长度为 $m$ 的数组 $b$ 。

从数组 $a$ 中挑出两个数，作为两条平行于 $y$ 轴的直线，数组 $b$ 中挑出两个数，作为两条平行于 $x$ 轴的直线，问这四条直线构成的矩形的面积。

你需要所有可能的矩形的面积之和，答案对 $10^9+7$ 取模

数据范围

• $2\le n,m\le 2\cdot 10^5$
• $-10^9\le a_i,b_i\le 10^9$

题解

先对两个数组排序，下标从 $0$ 开始。

对于数组 $a$ ，每个数 $a_i$，考虑比其小的数的和为 $pre{a}_{i-1}$，一共有 $i$ 个数比 $a_i$ 小（小于等于），那么和 $a_i\times i-pre{a}_{i-1}$。

对于数组 $b$ 也一样。

但是这里需要考虑的是，对于每个数 $a_i$ ，其需要与数组 $b$ 中任意两个数构成的直线进行计算。

所以考虑 $ppre{b}_i=\sum _{j=0}^i{b}_i\times pre{b}_{i-1}$

最后答案就是：$\sum _{i=0}^{n-1}(a_i\times i-pre{a}_{i-1})\times ppre{b}_{n-1}$

时间复杂度：$O(n)$

代码

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MOD = 1e9 + 7;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<ll> a(n), b(m);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < m; ++i) cin >> b[i];

    sort(a.begin(), a.end());
    sort(b.begin(), b.end());

    ll prea = (a[0] % MOD + MOD) % MOD;
    ll preb = (b[0] % MOD + MOD) % MOD, ppreb = 0;

    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        ppreb += b[i] * i - preb;
        ppreb = (ppreb % MOD + MOD) % MOD;
        preb += b[i];
        preb %= MOD;
    }

    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        ll cur = ((a[i] * i - prea) % MOD + MOD) % MOD;
        ans = (ans + cur * ppreb % MOD) % MOD;
        prea += a[i];
        prea %= MOD;
    }

    cout << ans << "\n";

    return 0;
}
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