• 谱定理等周边定理


    0.1 正交矩阵

    • 简述:我的转置是我的逆,那我就是正交矩阵
    • 定义:

    orthogonal_matrix ( A ) : = ( A ∈ R n × n    and    A T A = I n ) \text{orthogonal\_matrix}(A):=\left(A\in \R^{n\times n}\;\text{and}\;A^TA=I_n\right) orthogonal_matrix(A):=(ARn×nandATA=In)

    0.2 对角矩阵

    • 简述:如果一个矩阵只有对角线上可以有非零元素,除此之外其他位置元素均为零,那么这个矩阵是对角矩阵
    • 定义:

    diagonal_matrix ( A ) : = A ∈ R n × n and    ∀ i ∈ { 1 , ⋯   , n }    ∀ j ∈ { 1 , ⋯   , n } ( A i j ≠ 0 ⇒ i = j )

    diagonal\_matrix(A):=A\Rn×nandi{1,,n}j{1,,n}(Aij0i=j)
    diagonal_matrix(A):=ARn×nandi{1,,n}j{1,,n}(Aij=0i=j)

    • 表示:

    diag ( λ 1 , ⋯   , λ n ) : = A    where    A ∈ R n × n    and    ( ∀ i ∈ { 1 , ⋯   , n }    A i i = λ i )    and    diagonal_matrix ( A )

    diag(λ1,,λn):=AwhereA\Rn×nand(i{1,,n}Aii=λi)anddiagonal\_matrix(A)
    diag(λ1,,λn):=AwhereARn×nand(i{1,,n}Aii=λi)anddiagonal_matrix(A)

    0.3 实对称矩阵

    • 简述:我的转置是我自己,那我就是对称矩阵
    • 定义:

    symmetric_matrix ( A ) : = ( A ∈ R n × n    and    A T = A ) \text{symmetric\_matrix}(A):=\left(A\in \R^{n\times n} \; \text{and}\; A^T=A\right) symmetric_matrix(A):=(ARn×nandAT=A)

    0.4 二次型

    • 描述: x = ( x 1 , ⋯   , x n ) T x=(x_1,\cdots,x_n)^T x=(x1,,xn)T 是一个变量构成的向量, A A A 是一个方阵,则向量函数 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx 称为与 A A A 对应的二次型函数
    • 定义:

    quadratic_form A : = f where    f : R n ↦ R ,    f ( x ) = x T A x

    quadratic\_formA:=fwheref:\Rn\R,f(x)=xTAx
    quadratic_formA:=fwheref:RnR,f(x)=xTAx

    0.5 矩阵相似

    • 定义:

    A ∼ B : = ∃ P    orthogonal_matrix ( P )    and    A = P T B P A\sim B:=\exist P\;\text{orthogonal\_matrix}(P)\text{\;and\;}A=P^TBP AB:=Porthogonal_matrix(P)andA=PTBP

    0.6 特征值

    • 描述:一个矩阵在某些方向上做乘法的作用被简化为线性的缩放,缩放系数就是特征值
    • 定义:

    eigenvalue_set ( A ) : = { λ    ∣    ∃ x ∈ R n    ( x ≠ 0    and    A x = λ x ) } \text{eigenvalue\_set}(A):=\{\lambda\;|\;\exist x\in R^n\;(x\neq0\text{\;and\;}Ax=\lambda x)\} eigenvalue_set(A):={λxRn(x=0andAx=λx)}

    • 补充:最大特征值又被称为谱半径

    1.1 谱定理

    • 简述:任意实对称矩阵一定可以相似对角化,对角阵元素为该矩阵特征值
    • 内容:

    ∀ A    symmetric_matrix ( A ) ⇒ ∃ Λ    ∃ P    ( diagonal_matrix ( Λ )    and    orthogonal_matrix ( P )    and    A ∼ Λ    and                             { Λ i i    ∣    i ∈ { 1 , ⋯   , n } } = eigenvalue_set ( A ) )

    Asymmetric\_matrix(A)\existΛ\existP(diagonal\_matrix(Λ)\;and\;orthogonal\_matrix(P)\;and\;AΛ\;and\;{Λii|i{1,,n}}=eigenvalue\_set(A))
    Asymmetric_matrix(A)∃ΛP(diagonal_matrix(Λ)andorthogonal_matrix(P)andAΛand{Λiii{1,,n}}=eigenvalue_set(A))

    • 证明:待补充

    1.2 谱半径定理

    • 简述:实对称矩阵的最大特征值等于其二次型在单位向量空间上的最大值
    • 内容:

    symmetric_matrix ( A ) ⇒ max    eigenvalue_set ( A ) = max ⁡ x ∈ R n , ∥ x ∥ = 1 { quadratic_form A ( x ) } \text{symmetric\_matrix}(A) \Rightarrow \text{max}\;\text{eigenvalue\_set}(A)=\max_{x\in\R^n,\|x\|=1}\{\text{quadratic\_form}_A(x)\} symmetric_matrix(A)maxeigenvalue_set(A)=xRn,x=1max{quadratic_formA(x)}

    • 思路:对 A A A 做相似对角化
    • 证明:待补充
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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/GGN_2015/article/details/133043075