一些动态规划dp简单基础题

背包基础：

01背包：每样东西只能选一个

模板：滚动数组优化

#include 
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int v[N], w[N]; // 存第i个物品的体积和价值
int n, m;
int f[N]; // f存状态，行表示物品， 列表示背包大小
int main()
{
    cin >> n >> m;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)     // i枚举物品
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- ) // j枚举空间
        {
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

多重背包：每样东西能选s[i]个

模板：

#include 
using namespace std;
 
const int N = 110;
int n, m;
int f[N];
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        
        for(int j = m; j >= 0; j -- )
        {
            for(int k = 0; k <= s && k * v <= j; k ++ )
            {
                f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
            }
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

二进制优化：实际上是分堆，减少了i枚举数

#include 
using namespace std;
 
const int N = 2010, M = 12010;
int n, m, cnt = 1;
int f[N];
int v[M], w[M];
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    
    //二进制堆
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a, b, s, k = 1;
        cin >> a >> b >> s;
        
        while(k <= s)
        {
            s -= k;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt ++ ] = k * b;
            k *= 2;
        }
        
        if(s > 0)
        {
            v[cnt] = s * a;
            w[cnt ++ ] = s * b;
        }
    }
    
    n = cnt;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = m; j >= v[i]; j -- )
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

完全背包：每样东西能选无限个

模板：完全背包的的优化就在于推公式，由于是无限个，所以就可以同加来消元

#include 
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int v[N], w[N], f[N][N];
int n, m;
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    /*
        这个状态转移公式是这么推出来的
        f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i], f[i - 1][j - 2 * v[i]] + 2 * w[i], ...)
        f[i][j - v[i]] = max(f[i - 1][j - v[i]], f[i - 1][j - 2 * v[i]] + w[i], f[i - 1][j - 3 * v[i]] + 2 * w[i], ...); 
    */
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(v[i] <= j) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

例题：

小A点菜 - 洛谷

01背包变式，求其选择方法种数。这里我选择f[j] = f[j] + f[j - x]  选择它的种数+不选择它的种数

#include 
using namespace std;
 
const int N = 1e4 + 10;
int n, m;
int f[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int j = m; j >= x; j -- )
        {
            f[j] += f[j - x];
        }
    }
    
    cout << f[m];
    
    return 0;    
}

[NOIP2001 普及组] 装箱问题 - 洛谷

也是个01背包问题，只不过我将f[]用于枚举此时能够装的体积了。

#include 
using namespace std;
 
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int f[N];
int main()
{
    cin >> m >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int x;
        cin >> x;
        
        for(int j = m; j >= x; j -- )
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - x] + x);
        }
    }
    
    cout << m - f[m];
    
    return 0;    
}

[USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles - 洛谷

这是个递推题，杨辉三角，该位置的最大路径值=左上+正上

#include 
 
using namespace std;
 
const int N = 1010;
 
int n;
 
int a[N][N], f[N][N];
 
int main()
 
{
 
    cin >> n;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
 
        for (int j = 1; j <= i; j++)
 
            cin >> a[i][j];
 
    f[1][1] = a[1][1];
 
    for (int i = 2; i <= n; i++)
 
    {
 
        for (int j = 1; j <= i; j++)
 
        {
 
            f[i][j] = a[i][j] + max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]);
        }
    }
 
    int ans = 0;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
 
    {
 
        ans = max(ans, f[n][i]);
    }
 
    cout << ans << endl;
 
    return 0;
}

[NOIP2005 普及组] 采药 - 洛谷

经典01背包，板子题

疯狂的采药 - 洛谷

经典完全背包，板子题

5 倍经验日 - 洛谷

[NOIP2002 普及组] 过河卒 - 洛谷

[NOIP1996 提高组] 挖地雷 - 洛谷

这个题我是用有向图遍历过的，每次找一条挖地雷的路，找到最大路保存下来。

#include 
#include 
using namespace std;
 
const int N = 40, M = 2 * N;
int n;
int w[N];
int e[M], ne[M], h[N], idx;
bool st[N];
int res, ans, stp;
int path[N], rpath[N];
 
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
 
bool check(int x)
{
    
    if(ne[ne[h[x]]] == -1 || h[x] == -1)
        return true; 
}   
 
void dfs(int u, int cnt)
{
    // st[u] = true;
    // cout << u << ' ';
    res += w[u];
    path[cnt] = u;
    if(check(u))
    {
        if(ans < res) 
        {
            ans = res;
            stp = cnt;
            for(int i = 0; i <= cnt; i ++ )
            {
                rpath[i] = path[i];
            }
        }
    }
    
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        int value = w[j];
        // if(!st[j])
        // {
            dfs(j, cnt + 1);
        // }
    }
    res -= w[u];
}
 
int main()
{
    cin >> n;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> w[i]; 
    }
    
    for(int i = 1; i < n; i ++ )
    {
        for(int j = i + 1; j <= n; j ++ )
        {
            int t;
            cin >> t;
            if(t) add(i, j);
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) dfs(i, 0);
 
    for(int i = 0; i <= stp; i ++ ) cout << rpath[i] << ' ';
    cout << endl;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}