【面试经典150 | 数组】买卖股票的最佳时机 II

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本专栏专注于分析与讲解【面试经典150】算法，两到三天更新一篇文章，欢迎催更……

专栏内容以分析题目为主，并附带一些对于本题涉及到的数据结构等内容进行回顾与总结，文章结构大致如下，部分内容会有增删：

• Tag：介绍本题牵涉到的知识点、数据结构；
• 题目来源：贴上题目的链接，方便大家查找题目并完成练习；
• 题目解读：复述题目（确保自己真的理解题目意思），并强调一些题目重点信息；
• 解题思路：介绍一些解题思路，每种解题思路包括思路讲解、实现代码以及复杂度分析；
• 知识回忆：针对今天介绍的题目中的重点内容、数据结构进行回顾总结。

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Tag

【贪心】【动态规划】【数组】【2023-10-02】

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题目来源

122. 买卖股票的最佳时机 II

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题目解读

给你一个表示股票价格的数组，你可以在任意的一天购买，在其后的任意一天出售（购买当天出售也可以），但是你的手里最多只能有一只股票（你在第 i 先卖出手里的股票，再买入今日价格的股票也是可以的 ） ，返回你能获得的最大利润。

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解题思路

方法一：贪心

本题的关键在于可以买卖多次，那么只要第 i 天的价格比第 i-1 天的价格高，我们就在第 i-1 天买入股票，在第 i 天卖出股票，这样就可以获得最大利润。

实现代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int ans = 0;
		int n = prices.size();
		for (int i = 1; i < n; ++i)
			ans += max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
		return ans;
    }
};

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复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，$n$ 为数组 prices 的大小。

空间复杂度：$O(1)$。

方法二：动态规划+空间优化

因为我们的手中最多有一张股票，我们每天可以选择买入或者卖出，所以每天交易结束后，我们手中要么还有一支股票，要么没有股票。

状态

dp[i][0] 表示第 i 天交易介绍后手中没有股票可以获得的最大利润，dp[i][1] 表示第 i 天交易介绍后手中有一支股票可以获得的最大利润。

转移关系

考虑 dp[i][0] 的转移方程，第 i 天交易介绍后手中没有股票，可能前一天即 i-1 天已经没有股票了，对应的状态为 dp[i-1][0]；也有可能是第 i-1 天手里有一支股票，第 i 天卖掉了，对应的状态为 prices[i] + dp[i-1][1])。于是有转移关系：

$$dp[i][0]=max(dp[i-1][0],prices[i]+dp[i-1][1])$$

考虑 dp[i][1] 的转移方程，第 i 天交易介绍后手中有一支股票，可能前一天即 i-1 天手中就有一支股票，对应的状态为 dp[i-1][1]；也有可能是第 i-1 天手里没有股票，第 i 天买入了一支股票，对应的状态为 dp[i-1][0] - prices[i])。于是有转移关系：

$$dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])$$

base case

初始状态，即第 0 天交易结束后有 dp[0][0] = 0，dp[0][1] = -prices[0]。

返回答案

返回答案为 dp[n-1][0]，最后返回 max(dp[n-1][0], dp[n-1][1])，因为最后手中没有股票一定比手中有股票收益高，所以直接返回 dp[n-1][0]。

实现代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2));
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], prices[i] + dp[i-1][1]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[n-1][0];
    }
};
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空间优化

因为每天交易结束后不管手中还有没有股票，最大收益都和前一天结束后手中有没有股票的状态有关，因此可以使用两个变量来维护买股票（一天交易结束后手中还有股票）和卖股票（一天交易结束后手中没有股票）后手中剩余的最大钱数，也就是交易后的最大收益:

• buy：一天交易结束后手中还有股票的最大收益，初始化为 -prices[0]；
• sell：一天交易结束后手中没有股票的最大收益,，初始化为 0。

最后返回的是经过 n 天交易后手中剩余的最大钱数，即返回 sell。

实现代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int buy = -prices[0];
        int sell = 0;
        for (int p : prices) {
            // 使用上次卖出股票后手中的最大钱数来买新的股票
            buy = max(buy, sell - p);
            // 使用上次买入股票后手中的最大钱数 更新卖出股票后手中的钱
            sell = max(sell, buy + p);
        }
        return sell;
    }
};
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复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$。

空间复杂度：$O(n)$，因为需要开辟 $O(n)$ 的空间存储每一天交易结束后的状态。 优化后的空间复杂度为 $O(1)$。

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买卖股票系列题目

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