【算法基础】数学知识

质数

质数的判定

866. 试除法判定质数 - AcWing题库

时间复杂度是logN

#include
using namespace std;
int n;
bool isprime(int x)
{
	if(x<2) return false;
	
	for(int i=2;i<=x/i;i++)
	{
		if(x%i==0) return false;
	}
	return true;
}
signed main()
{
	cin>>n;	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		if(isprime(x)) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	
	return 0;
} 

分解质因数 

867. 分解质因数 - AcWing题库

#include
using namespace std;
int n;
void divide(int x)
{
	for(int i=2;i<=x/i;i++)
	{
		if(x%i==0) 
		{
			int s=0;
			while(x%i==0) x/=i,s++;
			cout<" "<
		}
	}
	if(x>1) cout<" "<<1<
	cout<
}
signed main()
{
	cin>>n;	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		divide(x);
	}
	
	return 0;
} 

 筛质数（用线性筛，O(N)

 868. 筛质数 - AcWing题库

朴素版，埃氏筛法

#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;
bool st[N];
int prime[N],cnt;
int n;
void getprimes(int x)
{
	for(int i=2;i<=x;i++)
	{
		if(st[i]) continue;
		prime[cnt++]=i;
		for(int j=i+i;j<=x;j+=i) st[j]=true;
	}
	
}
signed main()
{
	cin>>n;	
	getprimes(n);
	cout<
	
	return 0;
} 

 线性筛

868. 筛质数 - AcWing题库

线性筛把时间复杂度优化到O(n)，就需要保证筛去一个数只用一次，保证最小质因数就可以确保这一点。

如。筛去24，24=2*12，24=3*8，显然这里2是最小质因数，如何确保不筛去3*8？

这里3*8=3*2*4，即i包含上一个prime，直接break。

只要i包含了prime就不能保证最小质因数！！

#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;
bool st[N];
int prime[N],cnt;
int n;
void getprimes(int x)
{
	for(int i=2;i<=x;i++)
	{
		if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
		
		for(int j=0;prime[j]<=x/i;j++)
		{
			st[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	
}
signed main()
{
	cin>>n;	
	getprimes(n);
	cout<
	
	return 0;
} 

约数

试除法求一个数的所有约束

869. 试除法求约数 - AcWing题库

#include
using namespace std;
 
void solve(int x)
{
	stack<int> s;
	for(int i=1;i<=x/i;i++)
	{
		if(x%i==0) 
		{
			cout<' ';
			if(i!=x/i) s.push(x/i);
		}
	}
	while(s.size())
	{
		cout<top()<<" ";
		s.pop();
	}
	puts("");
}
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int x;
		cin>>x;
		solve(x);
	}
	return 0;
} 

 约数个数//约数之和

870. 约数个数 - AcWing题库

#include
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
typedef long long LL;
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	unordered_map<int,int> mp;
	while(n--)
	{
		int x;
		cin>>x;
		for(int i=2;i<=x/i;i++)
		{
			while(x%i==0)
			{
				mp[i]++;
				x/=i;
			}
		}
		if(x>1) mp[x]++;
	}
	
	LL res=1;
	for(auto p:mp) res=res*(p.second+1)%mod;
	
	cout<
	return 0;
} 

 871. 约数之和 - AcWing题库

#include
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
typedef long long LL;
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	unordered_map<int,int> mp;
	while(n--)
	{
		int x;
		cin>>x;
		for(int i=2;i<=x/i;i++)
		{
			while(x%i==0)
			{
				mp[i]++;
				x/=i;
			}
		}
		if(x>1) mp[x]++;
	}
	
	LL res=1;
	for(auto p:mp)
	{
		LL a=p.first,b=p.second;
		LL t=1;
		while(b--) t=(t*a+1)%mod;//秦九韶
		res=res*t%mod; 
	}
	
	cout<
	return 0;
} 

最大公约数

872. 最大公约数 - AcWing题库

#include
using namespace std;
int gcb(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<gcd(a,b)<
	}
	return 0;
} 

 
欧拉函数 

求任意一数的欧拉函数  O(n*sqrt(a)) 

 873. 欧拉函数 - AcWing题库

 

#include
using namespace std;
 
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int x;
		cin>>x;
		int res=x;
		for(int i=2;i<=x/i;i++)
		{
			if(x%i==0)
			{
				res=res/i*(i-1);
				while(x%i==0) x/=i;
			} 
		}
		if(x>1) res=res/x*(x-1);
		cout<
	}
	return 0;
} 

求1-n中每个数的欧拉函数  O(n）

874. 筛法求欧拉函数 - AcWing题库

#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int prime[N],cnt;
bool st[N];
int phi[N];//欧拉函数
 
typedef long long LL; 
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!st[i]) 
		{
			prime[cnt++]=i;
			phi[i]=i-1;//质数的欧拉函数 
		}
		
		for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
		{
			st[prime[j]*i]=true;
			
			if(i%prime[j]==0) 
			{
				phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];         
				//括号里质因子是一样的，只是n要多乘上一个 
				break;
			}
			phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1); 
			//prime是质数且i不能整除prime，则说明两数没有公因数
			//那么prime[j]*i比i只是多了一个质因子prime[j] 
		}
	}
	LL res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) res+=phi[i];
	
	cout<
	
	return 0;
}

 快速幂

快速幂

875. 快速幂 - AcWing题库

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
 
LL qmi(int a,int b,int p)
{
	LL res=1%p;
	
	while(b)
	{
		if(b&1) res=res*(LL)a%p;
		a=a*(LL)a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;	
}
signed main()
{
	int n;	
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int a,b,p;
		cin>>a>>b>>p;
		cout<<qmi(a,b,p)<
	}
	
	return 0;
} 

快速幂求逆元

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

（1）当a与p互质时，用快速幂求逆元（费马小定理）：quick_power(a, b, p)；
（2）当a与p不互质时，用扩展欧几里得算法求逆元：exgcd(a, p, x, y)。

概念： 

 证明：费马小定理（通俗易懂） - 知乎 (zhihu.com)

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
 
LL qmi(int a,int b,int p)
{
	LL res=1%p;
	
	while(b)
	{
		if(b&1) res=res*(LL)a%p;
		a=a*(LL)a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;	
}
signed main()
{//当a和p不互质时无解，由于p是质数，也就只有a是p的倍数时无解 
	int n;	
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int a,b,p;
		cin>>a>>p;
		if(a%p==0) puts("impossible"); 
		else cout<<qmi(a,p-2,p)<
	}
	
	return 0;
} 

 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法

877. 扩展欧几里得算法 - AcWing题库

主要是递归。先正着求出gcd的值，求完之后倒着求x，y。

AcWing 877. 扩展欧几里得算法 - AcWing

#include
using namespace std;
 
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;	
	}	
	int x1,y1,gcd;
	gcd=exgcd(b,a%b,x1,y1);
	
	x=y1,y=x1-a/b*y1;
	return gcd;
}
 
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int a,b,x,y;
		cin>>a>>b;
		exgcd(a,b,x,y);
		cout<" "<
	}
	return 0;
}

 线性同余方程

878. 线性同余方程 - AcWing题库

想不明白主要应该是不太清楚裴属定理，看这个：裴蜀定理 - OI Wiki (oi-wiki.org)

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;	
	}	
	int x1,y1,gcd;
	gcd=exgcd(b,a%b,x1,y1);
	
	x=y1,y=x1-a/b*y1;
	return gcd;
}
 
signed main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int a,b,m;
		cin>>a>>b>>m;
		
		int x,y;
		int d=exgcd(a,m,x,y);
		
		if(b%d) puts("impossible");
		else cout<<(LL)b/d*x%m<
		
	}
	return 0;
}

 中国剩余定理

204. 表达整数的奇怪方式 - AcWing题库

基础中国剩余定理：算法学习笔记(10): 中国剩余定理 - 知乎 (zhihu.com)

好难，明天再看

高斯消元法

883. 高斯消元解线性方程组 - AcWing题库

#include
using namespace std;
const int N=110;
const double eps = 1e-8; 
int n;
double a[N][N];
 
int gauss()  // 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
{
    int c,r;//列，行
	
	for(c=0,r=0;c//遍历所有列 
	{
		int t=r;//最上面一个，还没确定
		 
		for(int i = r ; i < n ; i ++)
		{
			if( fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]) ) t=i;//把最大的换上去 
		}	
		
		if(fabs(a[t][c])continue;//如果这个最小的是0，跳过 
 
 
		for(int i=c;i<=n;i++)	swap(a[t][i],a[r][i]);//交换 
		
		for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c]; //首位变成1 
		
		for(int i=r+1;i
		{
			if(fabs(a[i][c])>eps)
			{
				for(int j=n;j>=c;j--)
				{
					a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];	
				}	
			}
		} 
        r ++ ;
    }
 
	if(r
	{
		for(int i=r;i//从没走到的一行开始
		{
			if(fabs(a[i][n])>eps) return 2;//无解 
		}
		return 1; //无穷解 
	}
	
	//只有一解
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		for(int j=i+1;j
		{
			a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
		}
	} 
	return 0;
}
 
signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i
	{
		for(int j=0;j1;j++)
		{
			cin>>a[i][j];		
		}
	}	
	
	int t=gauss();
	
    if (t == 2) puts("No solution");
    else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            printf("%.2lf\n", a[i][n]);
    }
	return 0;
} 

从1开始存的版本。

#include
using namespace std;
const int N=110;
const double eps=1e-8;
int n;
double a[N][N];
 
int gauss()
{
	int r=1,c=1;//行列，r<=n,c<=n+1
	
	for(r=1,c=1;c<=n;c++) //遍历每一列 
	{
		int t=r;//记录行 
		
		for(int i=t;i<=n;i++)
		{
			if(fabs(a[i][c]>fabs(a[t][c])))	t=i;	
		}
		if(fabs(a[t][c])continue;
		
		//走了几列同时代表确定了几行 
		for(int i=c;i<=n+1;i++)	swap(a[t][i],a[r][i]);
		
		for(int i=n+1;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];
		
		for(int i=r+1;i<=n;i++)//对每一行 
		{
			if(fabs(a[i][c])continue;//如果这个是0，不操作
			
			for(int j=n+1;j>=c;j--)
			{
				a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];	
			} 
		} 
		
		r++;
	}
	
	if(r1)
	{
		for(int i=r;i<=n;i++)
		{
			if(fabs(a[i][n+1])>eps) return 0;//无解 
		}
		return 2;//无穷解 
	}
	
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
		{
			a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];	
		}	
	} 
	return 1;
}
signed main()
{
	cin>>n;	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	
	int t=gauss();
	
	if(t==0) puts("No solution");
	else if(t==2) puts("Infinite group solutions");
	else
	{
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n+1]);
	}
	
	return 0;
}

884. 高斯消元解异或线性方程组 - AcWing题库

#include
using namespace std;
const int N=110;
 
int n;
int a[N][N];
 
void guass()
{
	int r,c;
	for(r=1,c=1;c<=n;c++)//枚举列 
	{
		int t=r;
		
		for(int i=r;i<=n;i++)
		{
			if(a[i][c])
			{
				t=i;
				break;
			}	
		}
		if(a[t][c]==0) continue;//说明第c列都是0 
		
		for(int i=c;i<=n+1;i++) swap(a[r][i],a[t][i]);
		
		for(int i=r+1;i<=n;i++)
		{
			if(a[i][c]==0) continue;
			
			for(int j=c;j<=n+1;j++)
			{
				a[i][j]^=a[r][j];	
			}	
		} 
		r++;
	}
	
	if(r1)//说明等式左边都是0，判断等式右边即可 
	{
		for(int i=r;i<=n;i++)
		{
			if(a[i][n+1]!=0)//无解 
			{
				puts("No solution");
				return; 
			}
		} 
		puts("Multiple sets of solutions");
		return;
	}
	
	//输出结果
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		
		for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
		{
			a[i][n+1]^=a[i][j]*a[j][n+1];	
		}	
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cout<1]<
	}
}
signed main()
{
	cin>>n; 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	guass();	
	
	return 0;
}

求组合数

885. 求组合数 I - AcWing题库

1<=b<=a<=2000

#include
using namespace std;
const int N=2010,mod=1e9+7;
int a[N][N];
 
void init()
{
	for(int i=0;i
	{
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			if(j==0) a[i][j]=1;
			else a[i][j]=(a[i-1][j]+a[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
}
signed main()
{
	init();
	
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int c,b;
		cin>>c>>b;
		cout<
	}
	
	return 0;
}

 886. 求组合数 II - AcWing题库

1<=b<=a<=1e5

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;
 
int fact[N],infact[N];
int qmi(int a,int k,int p)
{
	int res=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) res=(LL)res*a%p;
		a=(LL)a*a%p;
		k>>=1;
	}
	return res;
}
signed main()
{
	fact[0]=infact[0]=1;
	for(int i=1;i
	{
		fact[i]=(LL)fact[i-1]*i%mod;
		infact[i]=(LL)infact[i-1]*qmi(i,mod-2,mod)%mod; 
	}
 
	int n;	
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<(LL)fact[a]*infact[b]%mod*infact[a-b]%mod<
	}
	
	return 0;
}