【学习笔记】CF1770F Koxia and Sequence

发现每个位置是等价的，这样如果$n$为偶数那么答案是$0$，否则为所有方案数中$a_1$的异或和

发现题目设计的非常巧妙，加上 $({\text{OR}}_{i=1}^n{a}_i)\subseteq y$ 的限制过后，变量的取值就有了范围，我们可以利用这一条件对式子进行化简

考虑钦定$a_1$的第$k$位为$1$，然后计算方案数为： ∑ ∑ a i = x − 2 k [ a 1 ⊆ y − 2 k ] [ a 2 ⊆ y ] . . . [ a n ⊆ y ] = ∑ ∑ a i = x − 2 k ( y − 2 k a 1 ) ( y a 2 ) . . . ( y a n ) = ( n y − 2 k x − 2 k ) = [ ( x − 2 k ) ⊆ ( n y − 2 k ) ]

​∑ai​=x−2k∑​[a1​⊆y−2k][a2​⊆y]...[an​⊆y]=∑ai​=x−2k∑​(a1​y−2k​)(a2​y​)...(an​y​)=(x−2kny−2k​)=[(x−2k)⊆(ny−2k)]​

可以$O(1)$计算。最后枚举$y$的子集容斥计算即可。

复杂度$O(y\log y)$。

代码真的很短😂

#include
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define db double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
ll n,x,y,res;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>x>>y;
    if(n%2==0){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    for(ll i=y;i;i=(i-1)&y){
        for(int j=0;j<20;j++){
            if(i>>j&1){
                ll a=x-(1<<j),b=n*i-(1<<j);
                if(a>=0&&b>=0&&(a&b)==a){
                    res^=(1<<j);
                }
            }
        }
    }cout<<res;
}
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