• 数据结构之堆的结构与实现

    目录

    一、堆的概念及结构

    1.1堆的概念

     1.2堆的性质

    1.3堆的结构

    二、堆的实现

    2.1堆向下调整算法（父亲与孩子做比较）

     2.2堆的向上调整算法（孩子与父亲做比较）

    2.3堆的创建（向下建堆）

     2.4向下建堆的时间复杂度

    2.5堆的插入

    2.6堆的删除

    2.7堆的完整代码实现

    三、堆的应用

    3.1堆排序

    3.2TOP-K问题

     

    一、堆的概念及结构

    1.1堆的概念

     1.2堆的性质

    堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

    堆总是一棵完全二叉树。

    1.3堆的结构

    二、堆的实现

    2.1堆向下调整算法（父亲与孩子做比较）

    我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
    以下面图片为例：建小堆过程中父亲不断与较小的孩子交换

    用代码来实现：

    1. void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)//n是参与向下算法的元素的个数
    2. {
    3. 	int child = parent * 2 + 1;
    4. 	while (child < n)
    5. 	{
    6. 		//建小堆，找到两个孩子中较小的那一个
    7. 		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
    8. 		{
    9. 			child++;
    10. 		}
    11. 		//如果父亲不比孩子大，就证明已经是小堆了，直接跳出循环；
    12. 		//如果比孩子大就一直交换
    13. 		if (a[child] < a[parent])
    14. 		{
    15. 			Swap(&a[child], &a[parent]);
    16. 			parent = child;
    17. 			child = parent * 2 + 1;
    18. 		}
    19. 		else
    20. 			break;
    21. 	}
    22. }

     2.2堆的向上调整算法（孩子与父亲做比较）

    代码实现如下：

    1. void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
    2. {
    3. 	int parent = (child - 1) / 2;
    4. 	while (child > 0)
    5. 	{
    6. 		if (a[child] < a[parent])
    7. 		{
    8. 			Swap(&a[child], &a[parent]);
    9. 			child = parent;
    10. 			parent = (child - 1) / 2;
    11. 		}
    12. 		else
    13. 			break;
    14. 	}
    15. }

    2.3堆的创建（向下建堆）

    我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的 子树开始调整（向下调整），一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
    假定有数组 int a [] = { 1 , 5 , 3 , 8 , 7 , 6 };

     2.4向下建堆的时间复杂度

    因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明 ( 时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果 ) ：

     因此：向下建堆的时间复杂度为O(N)。

    既然谈到了向下建堆的时间复杂度，不妨就算一下向上建堆的时间复杂度：

     冲两张图中可以看到：向下调整建堆的效率略高于向上调整建堆的效率，所以我上面所讨论的也都是向下调整建堆的实现方法。

    2.5堆的插入

    先插入一个 10 到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

     代码实现：

    1. void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
    2. {
    3. 	assert(hp);
    4. 	//判满以及扩容
    5. 	if (hp->_capacity == hp->_size)
    6. 	{
    7. 		int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->_capacity;
    8. 		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
    9. 		
    10. 		if (tmp == NULL)
    11. 		{
    12. 			perror("realloc fail");
    13. 			exit(-1);
    14. 		}
    15. 		hp->_a = tmp;
    16. 		hp->_capacity = newCapacity;
    17. 	}
    18. 	hp->_a[hp->_size] = x;
    19. 	hp->_size++;
    20.  
    21. 	AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1);
    22. }

    2.6堆的删除

    删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

     代码实现：

    1. void HeapPop(Heap* hp)
    2. {
    3. 	assert(hp);
    4. 	assert(hp->_size > 0);
    5.  
    6. 	Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
    7. 	hp->_size--;
    8. 	AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
    9. }

    2.7堆的完整代码实现

    1. //Heap.h
    2.  
    3. #pragma once
    4.  
    5. #include 
    6. #include 
    7. #include 
    8. #include 
    9.  
    10. typedef int HPDataType;
    11. typedef struct Heap
    12. {
    13. 	HPDataType* _a;
    14. 	int _size;
    15. 	int _capacity;
    16. }Heap;
    17.  
    18. //堆的初始化
    19. void HeapInit(Heap* hp);
    20.  
    21. // 堆的构建
    22. void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
    23.  
    24. //交换
    25. void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b);
    26.  
    27. //向上调整
    28. void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
    29.  
    30. //向下调整
    31. void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
    32.  
    33. //打印
    34. void HeapPrint(Heap* hp);
    35.  
    36. // 堆的销毁
    37. void HeapDestory(Heap* hp);
    38.  
    39. // 堆的插入
    40. void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
    41.  
    42. // 堆的删除
    43. void HeapPop(Heap* hp);
    44.  
    45. // 取堆顶的数据
    46. HPDataType HeapTop(Heap* hp);
    47.  
    48. // 堆的数据个数
    49. int HeapSize(Heap* hp);
    50.  
    51. // 堆的判空
    52. int HeapEmpty(Heap* hp);
    1. //Heap.c
    2. #include "Heap.h"
    3.  
    4. void HeapInit(Heap* hp)
    5. {
    6. 	assert(hp);
    7. 	hp->_a = NULL;
    8. 	hp->_capacity = 0;
    9. 	hp->_size = 0;
    10. }
    11.  
    12. void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
    13. {
    14. 	assert(hp);
    15. 	assert(a);
    16. 	hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);
    17.  
    18. 	if (hp->_a == NULL)
    19. 	{
    20. 		perror("malloc fail");
    21. 		exit(-1);
    22. 	}
    23. 	hp->_capacity = n;
    24. 	hp->_size = n;
    25.  
    26. 	memcpy(hp->_a, a, sizeof(HPDataType) * n);
    27.  
    28. 	for (int i = 1; i < n; i++)
    29. 	{
    30. 		AdjustUp(hp->_a, i);
    31. 	}
    32. }
    33.  
    34. void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
    35. {
    36. 	HPDataType tmp = *a;
    37. 	*a = *b;
    38. 	*b = tmp;
    39. }
    40.  
    41. void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
    42. {
    43. 	int parent = (child - 1) / 2;
    44. 	while (child > 0)
    45. 	{
    46. 		if (a[child] < a[parent])
    47. 		{
    48. 			Swap(&a[child], &a[parent]);
    49. 			child = parent;
    50. 			parent = (child - 1) / 2;
    51. 		}
    52. 		else
    53. 			break;
    54. 	}
    55. }
    56.  
    57. void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)//n是参与向下算法的元素的个数
    58. {
    59. 	int child = parent * 2 + 1;
    60. 	while (child < n)
    61. 	{
    62. 		//建小堆，找到两个孩子中较小的那一个
    63. 		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
    64. 		{
    65. 			child++;
    66. 		}
    67. 		//如果父亲不比孩子大，就证明已经是小堆了，直接跳出循环；
    68. 		//如果比孩子大就一直交换
    69. 		if (a[child] < a[parent])
    70. 		{
    71. 			Swap(&a[child], &a[parent]);
    72. 			parent = child;
    73. 			child = parent * 2 + 1;
    74. 		}
    75. 		else
    76. 			break;
    77. 	}
    78. }
    79.  
    80. void HeapDestory(Heap* hp)
    81. {
    82. 	assert(hp);
    83. 	free(hp->_a);
    84. 	hp->_capacity = 0;
    85. 	hp->_size = 0;
    86. }
    87.  
    88. void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
    89. {
    90. 	assert(hp);
    91. 	//判满以及扩容
    92. 	if (hp->_capacity == hp->_size)
    93. 	{
    94. 		int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->_capacity;
    95. 		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
    96. 		
    97. 		if (tmp == NULL)
    98. 		{
    99. 			perror("realloc fail");
    100. 			exit(-1);
    101. 		}
    102. 		hp->_a = tmp;
    103. 		hp->_capacity = newCapacity;
    104. 	}
    105. 	hp->_a[hp->_size] = x;
    106. 	hp->_size++;
    107.  
    108. 	AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1);
    109. }
    110.  
    111. void HeapPrint(Heap* hp)
    112. {
    113. 	assert(hp);
    114. 	for (int i = 0; i < hp->_size; i++)
    115. 	{
    116. 		printf("%d ", hp->_a[i]);
    117. 	}
    118. 	printf("\n");
    119. }
    120.  
    121. void HeapPop(Heap* hp)
    122. {
    123. 	assert(hp);
    124. 	assert(hp->_size > 0);
    125.  
    126. 	Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
    127. 	hp->_size--;
    128. 	AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
    129. }
    130.  
    131. HPDataType HeapTop(Heap* hp)
    132. {
    133. 	assert(hp);
    134. 	assert(hp->_size > 0);
    135. 	return hp->_a[0];
    136. }
    137.  
    138. int HeapSize(Heap* hp)
    139. {
    140. 	return hp->_size;
    141. }
    142.  
    143. int HeapEmpty(Heap* hp)
    144. {
    145. 	assert(hp);
    146. 	if (hp->_size == 0)
    147. 		return 0;
    148. 	else
    149. 		return 1;
    150. }

    三、堆的应用

    3.1堆排序

    堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
    1. 建堆：
    升序：建大堆，降序：建小堆。
    2. 利用堆删除思想来进行排序
    建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
    具体实现代码如下： 
    1. void HeapSort1(int* a, int n)
    2. {
    3. 	//向上调整建堆
    4. 	/*for (int i = 1; i < n; i++)
    5. 	{
    6. 		AdjustUp(a, i);
    7. 	}*/
    8. 	//向下调整建堆
    9. 	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//从第一个非叶子节点开始向下调整
    10. 	{
    11. 		AdjustDown(a, n, i);
    12. 	}
    13.  
    14. 	//排序
    15. 	int end = n - 1;
    16. 	while (end)
    17. 	{
    18. 		Swap(&a[0], &a[end]);
    19. 		AdjustDown(a, end, 0);
    20. 		end--;
    21. 	}
    22. }

    3.2TOP-K问题

    TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

    对于 Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了 ( 可能数据都不能一下子全部加载到内存中 ) 。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
    1. 用数据集合中前 K 个元素来建堆 :
    前 k 个最大的元素，则建小堆，前 k 个最小的元素，则建大堆 。
    2. 用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
    将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。
    具体实现代码如下： 
    1. void CreatNData()
    2. {
    3. 	// 造数据
    4. 	int n = 10000000;
    5. 	srand(time(0));
    6. 	const char* file = "data.txt";
    7. 	FILE* fin = fopen(file, "w");
    8. 	if (fin == NULL)
    9. 	{
    10. 		perror("fopen error");
    11. 		return;
    12. 	}
    13. 	//将数据写入data文件中
    14. 	for (int i = 0; i < n; ++i)
    15. 	{
    16. 		int x = (rand() + i) % 10000000;
    17. 		fprintf(fin, "%d\n", x);
    18. 	}
    19.  
    20. 	fclose(fin);
    21. }
    22.  
    23.  
    24. void PrintTopK(const char* filename, int k)
    25. {
    26. 	FILE* fout = fopen(filename, "r");
    27. 	if (fout == NULL)
    28. 	{
    29. 		perror("fopen fail");
    30. 		exit(-1);
    31. 	}
    32. 	int* minHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    33. 	if (minHeap == NULL)
    34. 	{
    35. 		perror("malloc fail");
    36. 		return;
    37. 	}
    38. 	for (int i = 0; i < k; i++)
    39. 	{
    40. 		fscanf(fout, "%d", &minHeap[i]);
    41. 	}
    42. 	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
    43. 	{
    44. 		AdjustDown(minHeap, k, i);
    45. 	}
    46. 	//将剩余的n-k各元素与堆顶的元素进行交换
    47. 	int x = 0;
    48. 	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
    49. 	{
    50. 		if (x > minHeap[0])
    51. 		{
    52. 			minHeap[0] = x;
    53. 			AdjustDown(minHeap, k, 0);
    54. 		}
    55. 	}
    56.  
    57.  
    58. 	//排序
    59. 	int end = k - 1;
    60. 	while (end)
    61. 	{
    62. 		Swap(&minHeap[0], &minHeap[end]);
    63. 		AdjustDown(minHeap, end, 0);
    64. 		end--;
    65. 	}
    66.  
    67. 	for (int i = 0; i < k; i++)
    68. 	{
    69. 		printf("%d ", minHeap[i]);
    70. 	}
    71. 	free(minHeap);
    72. 	fclose(fout);
    73. }

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/m0_74265792/article/details/132968573