线性插值方法介绍及图像缩放

1 线性插值

  设函数$y=f(x)$在两点$x_0$、$x_1$上的值分别为$y_0$、$y_1$。求多项式$y=p_1(x)=a_0+a_{1}x$，使满足$p_1(x_0)=y_0,p_1(x_1)=y_1$。其几何意义求通过$A(x_0,y_0)$，$B(x_1,y_1)$的一条直线。由解析几何可知：$$y=p_1(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$$将上述公式重新整理可得到：$$p_1(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{y}_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_1$$

2 双线性插值

2.1 计算公式

  双线性插值，是连个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。这里以下图为例进行说明：
  假设现在想知道未知函数$f$在点$P(x,y)$的值，目前已知函数$f$在$Q_{11}=(x_1,y_1)$、$Q_{12}=(x_1,y_2)$、$Q_{21}=(x_2,y_1)$、$Q_{22}=(x_2,y_2)$的值。

双线性插值的计算步骤如下：

• 首先在$x$方向上的线性插值，分别计算函数$f$点$R_1$和$R_2$上的值。其计算公式如下：$$f(R_1)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})$$$$f(R_2)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22})$$
• 其次，利用$R_1$和$R_2$计算$P$。其计算公式如下：$$f(P)=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(R_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(R_2)$$

2.2 使用案例

  下面是一段使用双线性插值方法对图片像素进行修改的方法。

from PIL import Image
import numpy as np
import math

def get_pixel(path):
    img=Image.open(path)
    pixel=img.load()
    data=[]
    for i in range(img.size[0]):
        for j in range(img.size[1]):
            data.extend(list(pixel[i,j]))
    data=np.reshape(np.array(data),(img.size[0],img.size[1],3))
    return img,data
    
def img_resize(height,width,img,data):
    #生成在图片上取样的x坐标、y坐标
    lin_height=np.linspace(0,img.size[0]-1,height)
    lin_width=np.linspace(0,img.size[1]-1,width)
              
    new_img=Image.new('RGB',(height,width),(0,0,0))
    
    x1=np.array(list(map(lambda x:x if x<(img.size[0]-1) else x-1,[math.floor(i) for i in lin_height])))
    x2=np.array(list(map(lambda x:x-1 if x==img.size[0] else x,[math.floor(i+1) for i in lin_height])))
    
    y1=np.array(list(map(lambda x:x if x<(img.size[1]-1) else x-1,[math.floor(i) for i in lin_width])))
    y2=np.array(list(map(lambda x:x-1 if x==img.size[1] else x,[math.floor(i+1) for i in lin_width])))
    pixel_list=[]
    for i in range(height):    
        Q_r1=data[x1[i],y1,:]*(x2[i]-lin_height[i])+data[x2[i],y1,:]*(lin_height[i]-x1[i])
        Q_r2=data[x1[i],y2,:]*(x2[i]-lin_height[i])+data[x2[i],y2,:]*(lin_height[i]-x1[i])
        Q=Q_r1*np.reshape(y2-lin_width,(-1,1))+\
            Q_r2*np.reshape(lin_width-y1,(-1,1))
        Q=Q.astype(int)
        for j in range(Q.shape[0]):
            new_img.putpixel((i,j),tuple(Q[j]))
    return new_img
if __name__=="__main__":
    path=r'/Users/sherry/Downloads/杀生丸.jpeg'
    img,data=get_pixel(path)
    new_img=img_resize(2000,2000,img,data)
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