广义模态控制实例

在广义模态控制一文中，笔者介绍了广义模态控制的思路以及算法。本文将举一个简单的广义模态控制的例子，以加深理解。

1. 原系统

取原开环系统的传递函数为
$$G(\mathrm{s})=\frac{2}{15{\mathrm{s}}^2+\mathrm{s}}$$可见其有一个零极点，处于临界稳定，当外界输入为阶跃信号时，系统将直接变成不稳定系统。因此，不妨直接来看其闭环单位负反馈系统$W(\mathrm{s})$：
$$W(\mathrm{s})=\frac{G(\mathrm{s})}{1+G(\mathrm{s})}=\frac{2}{15{\mathrm{s}}^2+\mathrm{s}+2}$$其阶跃响应为：

可以看出，原闭环系统是趋于稳定的，但其缺点很明显：振荡过多，超调十分大，调节时间过长，整个系统的谐振性很明显，显然是不能应用于实际的。

2. 调节器设计

原系统为2阶系统，则调节器的最低阶数应当为$\nu =n-1=1$阶。不妨就设计一阶调节器：
$$R(\mathrm{s})=\frac{Q(\mathrm{s})}{P(\mathrm{s})}=\frac{q_1\mathrm{s}+q_0}{\mathrm{s}+p_0}$$在把调节器传入前馈通路后，得到的系统的闭环传函为
W c ( s ) = R ( s ) G ( s ) 1 + R ( s ) G ( s ) = q 1 s + q 0 s + p 0 2 15 s 2 + s 1 + q 1 s + q 0 s + p 0 2 15 s 2 + s = 2 ( q 1 s + q 0 ) s ( 15 s + 1 ) ( s + p 0 ) + 2 ( q 1 s + q 0 ) = 2 ( q 1 s + q 0 ) 15 s 3 + ( 15 p 0 + 1 ) s 2 + ( p 0 + 2 q 1 ) s + 2 q 0

Wc​(s)​=1+R(s)G(s)R(s)G(s)​=1+s+p0​q1​s+q0​​15s2+s2​s+p0​q1​s+q0​​15s2+s2​​=s(15s+1)(s+p0​)+2(q1​s+q0​)2(q1​s+q0​)​=15s3+(15p0​+1)s2+(p0​+2q1​)s+2q0​2(q1​s+q0​)​​设期望得到的系统拥有3个极点：$-0.1,-0.2,-0.2$，则期望系统的特征方程（即传函分母）为：
$$(\mathrm{s}+0.1)(\mathrm{s}+0.2{)}^2$$于是，为使调节后的系统达到期望的系统指标，应当使调节后的系统具有所期望的极点分布，即：传递函数的分母应当相同：
$$15{\mathrm{s}}^3+\left(15p_0+1\right){\mathrm{s}}^2+\left(p_0+2q_1\right)\mathrm{s}+2q_0=(\mathrm{s}+0.1)(\mathrm{s}+0.2{)}^2$$对照系数可以直接得到
$$p_0=\frac{13}{30},q_1=\frac{23}{60},q_0=\frac{3}{100},$$$$R(\mathrm{s})=\frac{q_1\mathrm{s}+q_0}{\mathrm{s}+p_0}=\frac{11.5\mathrm{s}+0.9}{30\mathrm{s}+13}$$

3. 加入调节器后的系统

加入调节器后的闭环传函为
$$W_c(\mathrm{s})=\frac{2\left(q_1\mathrm{s}+q_0\right)}{15{\mathrm{s}}^3+\left(15p_0+1\right){\mathrm{s}}^2+\left(p_0+2q_1\right)\mathrm{s}+2q_0}=\frac{23\mathrm{s}+1.8}{450{\mathrm{s}}^3+225{\mathrm{s}}^2+36\mathrm{s}+1.8}$$该系统的阶跃响应与原系统的阶跃响应对比图如下：

上图中红线为调节后闭环系统，蓝线为原闭环系统。

可以看出，加入所设计的一阶调节器后，系统的振荡消失，调节时间大大减小，超调几乎为零，响应速度加快，有很好的控制效果，已经可以应用于实际。