无穷级数（数学一）

无穷级数（数学一）

一、级数判敛

1、抽象型级数判敛（选择题）

（1）常用结论：

        1、绝对收敛 +\- 绝对收敛 = 绝对收敛

        2、绝对收敛 +\- 条件收敛 = 条件收敛

        3、条件收敛 +\- 条件收敛 = 收敛

4、若 $\sum u_{n}$ 收敛，则 $\sum u_{2n-1}+u_{2n}$ 收敛，但 $\sum u_{2n-1}-u_{2n}$ 不确定

5、发散+发散 = 不确定

（2）🌟比较审敛法

基本不等式： $a_n^2 + b_n^2 \leq (a_n + b_n)^2$ 、 $2\sqrt{a_nb_n} \leq a_n + b_n$ 、 $(\int^b_{a}f(x)g(x))^2 \leq \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx\int^{b}_{a}g^2(x)dx$

重要尺度： $\frac{1}{n},\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{nlnn},\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

$\sum |b_n|$ 绝对收敛可以推 $\sum b_n$ 收敛，但 $\sum |b_n|$ 发散无法得知 $\sum b_n$ 发散。

对于C、因为 $lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0$ ，所以， ${|a_n|}$ 必定存在下界M， $|a_nb_n| \leq M|b_n|$ ，由比较审敛法可以得级数收敛。

2、具体级数判敛

（1）交错级数：🌟只可能绝对收敛或者发散，用不了莱布尼兹就必定绝对收敛

*莱布尼兹判敛法（充分不必要条件）

在证明 $u_{n+1} \leq u_n$ 时，可以构造函数、利用初等不等式

*绝对收敛：绝对收敛➡️原级数收敛

（2）正项级数：比较审敛法+放缩\常用尺度（大收小收，小散大散），极限审敛法(sinx,cosx,n!)，积分判别法（常规难做的），根值判别法（n次方）

（3）等价无穷小之间敛散性相同（利用泰勒公式）tanx，e^x，sinx

（4）前n项和极限存在，级数收敛（充分必要条件）

等价无穷小同敛散

$\sum |\frac{n+a}{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}|$ 与 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 是等价无穷小，敛散性相同，所以发散，排除A，D

由莱布尼兹得知， $\sum (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} ,\sum (-1)^n(a-1)\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$ 收敛，所以条件收敛

二、求和函数及展开

1、求和函数

（1）先积后导，先导后积，泰勒公式

（2）解线性微分方程

解线性方程求和函数

2、求和

3、和函数的展开

（1）在x = x0处展开

麦克劳林公式：

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ （还可以用于求f的n阶导）

(2)直接用泰勒展开

三、求收敛域、收敛区间

（1）收敛域要判断端点敛散性

（2） $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \rightarrow R = \frac{1}{\rho}$ ，反向是无法推出来的。也就是说可能存在收敛半径，但极限不存在。

（3）可以适用根值法

（4）非幂级数的收敛域，换元，转换为幂级数



四、傅里叶级数

$a_n = \frac{1}{l} \int_{l}^{-l}f(x)cos\frac{n\pi}{l}x, b_n = \frac{1}{l} \int_{l}^{-l}f(x)sin\frac{n\pi}{l}x\\\\f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum(a_ncos\frac{n\pi}{l}x + b_nsin\frac{n\pi}{l}x)$
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原文地址：https://blog.csdn.net/m0_53210180/article/details/132904024

一、级数判敛

1、抽象型级数判敛（选择题）

2、具体级数判敛

等价无穷小同敛散

二、求和函数及展开

1、求和函数

解线性方程求和函数

2、求和

3、和函数的展开

三、求收敛域、收敛区间

四、傅里叶级数