完全背包，指的是有N件物品和一个最多能背重量为W的背包，每件物品有无限个，可以重复放入，求如何装入物品使价值最大。和01背包唯一不同的点就是完全背包的物品具有无限个。
有了上一篇的学习，如果想要使物品能够被多次放入，我们只需要从小到大的去枚举背包容量即可，至于已经在上一篇阐述了，不会的可以去看看。然后还有一个注意的就是，我们是先枚举物品还是先枚举背包容量呢？在纯完全背包问题中两者都可以的，因为这里的状态转移方程只要保证前面的状态被确定了，后面的就可以逐一确定下来。但是如果问的是求装满背包有几种方案时就有所不同了。来看leetcode的这道题：
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出：4 解释：有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2] 输出：0 解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10] 输出：1
注意，你可以假设：
可以发现题目要求的是给出硬币组合数，是不考虑元素之间的顺序的，而排列则需要考虑顺序。
还是五步法来分析一下：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2.确定递推公式
这里是求方案数，将选和不选都要加上，即 dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
3.dp数组如何初始化
dp[0] = 1，即凑成总金额0的货币组合数为1
4.确定遍历顺序
刚刚说过，对于求方案数类的完全背包问题，不同的遍历顺序得到的结果也不同。
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
先看先遍历物品的遍历顺序，由于我们是按照物品的顺序来遍历的，只会先计算1，再计算5，因此得到的方法数量只有{1, 5}这种情况，即组合数。
而如果是先遍历容量的遍历顺序，在计算dp[6]时，枚举第0个硬币时会得到{5, 1},因为dp[6] += dp[6 - 1] ,而枚举第1个硬币又会得到{1, 5}，所以可以发现先遍历容量得到的结果就是排列数。
5.举例推导dp数组
最后给出代码：
- class Solution {
- public:
- int change(int amount, vector<int>& coins) {
- vector<int> dp(amount + 1, 0);
- dp[0] = 1;
- for(int i = 0; i < coins.size(); i ++ )
- for(int j = coins[i]; j <= amount; j ++ )
- dp[j] += dp[j - coins[i]];
- return dp[amount];
- }
- };
再来看一道求排列的题目：
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4 输出：7 解释： 所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：
输入：nums = [9], target = 3 输出：0
提示：
1 <= nums.length <= 2001 <= nums[i] <= 1000nums 中的所有元素 互不相同1 <= target <= 1000题目中虽然说的是组合，但是又说了顺序不同的序列被视作不同的组合，其实就是排列。
动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i] : 组成和为 i 的排列个数
2.确定递推公式
dp[i] += dp[i - nums[j]];
3.初始化
dp[0] = 1，虽然在本题中dp[0]没有意义，但是为了后面递推，赋值为1才能累加起来
4.确定遍历顺序
上一题已经讲过了，记住：
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
5.举例来推导dp数组
- class Solution {
- public:
- int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
- vector<int> dp(target + 1, 0);
- dp[0] = 1;
- for(int i = 0; i <= target; i ++ )
- for(int j = 0; j < nums.size(); j ++ )
- if(i >= nums[j] && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]])
- dp[i] += dp[i - nums[j]];
- return dp[target];
- }
- };