图解曲线积分的对称性

1.图解曲线积分的对称性

1.1 第一类曲线积分的一般对称性

二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的一般对称性其原理都类似
平面曲线和空间曲线的原理一样，以下内容以空间曲线为例

图中所示为积分区域$\Gamma$，函数$f(x,y,z)$表示点$(x,y,z)$处的密度大小，可以用颜色深浅表示，但画图过于繁琐，所以被积函数并没有进行可视化

积分区域空间曲线$\Gamma$关于$x$的偶函数（即关于$yoz$平面对称）

积分区域空间曲线$\Gamma$关于$y$的偶函数（即关于$xoz$平面对称）

积分区域空间曲线$\Gamma$关于$z$的偶函数（即关于$xoy$平面对称）

1.2 第一类曲线积分的轮换对称性

轮换对称性意味着积分区域$L$的表达式在$x、y、z$互换后形式仍不变，即积分与积分变量无关
例：
L : { x 2 + y 2 + z 2 = a 2 x + y + z = 0 L:

L:{x2+y2+z2x+y+z​=a2=0​​​
求${\oint }_L{x}^{2}ds$、${\oint }_{L}xds$
球体与平面的交线即为积分区域空间曲线$L$

变量$x、y$互换后表达式为：$y^2+x^2+z^2=a^2$，表达式不变
变量$y、z$互换后表达式为：$x^2+z^2+y^2=a^2$，表达式不变
变量$x、z$互换后表达式为：$z^2+y^2+x^2=a^2$，表达式不变
通过验证，积分区域的表达式一具有轮换对称性，则将被积函数中$x$替换为$y$和$z$后积分大小不变
$$\begin{gathered} {\oint }_L{x}^{2}ds={\oint }_L{y}^{2}ds={\oint }_L{z}^{2}ds \\ {\oint }_L{x}^{2}ds=\frac{1}{3}({\oint }_L{x}^{2}ds+{\oint }_L{y}^{2}ds+{\oint }_L{z}^{2}ds) \\ {\oint }_L{x}^{2}ds=\frac{1}{3}({\oint }_L{x}^2+y^2+z^{2}ds) \\ {\oint }_L{x}^{2}ds=\frac{a^2}{3}\left({\oint }_{L}ds\right)=\frac{a^2}{3}\cdot 2\pi a=\frac{2}{3}\pi a^3 \end{gathered}$$
变量$x、y$互换后表达式为：$y+x+z=0$，表达式不变
变量$y、z$互换后表达式为：$x+z+y=0$，表达式不变
变量$x、z$互换后表达式为：$z+y+x=0$，表达式不变
通过验证，积分区域的表达式二具有轮换对称性，则将被积函数中$x$替换为$y$和$z$后积分大小不变
$$\begin{gathered} {\oint }_{L}xds={\oint }_{L}yds={\oint }_{L}zds \\ {\oint }_{L}xds=\frac{1}{3}({\oint }_{L}xds+{\oint }_{L}yds+{\oint }_{L}zds) \\ {\oint }_{L}xds=\frac{1}{3}({\oint }_{L}x+y+zds)=\frac{1}{3}\left({\oint }_{L}0ds\right)=0 \end{gathered}$$

1.3 第二类曲线积分的一般对称性

积分区域为平面曲线的情况
平面曲线$L$关于$y$轴对称

平面曲线$L$关于$x$轴对称


来一个宇哥的例题截图
标出两个点$(-x,y)、(x,y)$分别代入被积函数，看符号相反还是相同，对两个点的位移进行分解，看方向相反还是相同
例如下题中，曲线积分被积函数的第一部分中两个点$(-x,y)、(x,y)$分别代入被积函数为：$xy、-xy$符号相反（即水平方向的力改变了），水平位移方向$dx$没有改变（力方向改变，位移方向未变，水平方向的功为0）
曲线积分被积函数的第二部分中两个点$(-x,y)、(x,y)$分别代入被积函数为：$x^2、(-x{)}^2$符号相同（即力在竖直方向未改变），竖直位移方向$dy、-dy$相反（力方向未变，位移方向改变，竖直方向的功为0）
只有在整个积分区域上力的方向没有改变并且位移方向没有改变，功才不为0

积分区域为空间曲线的情况
空间曲线$\Gamma$是关于$x$的偶函数（即关于$yoz$平面对称）

空间曲线$\Gamma$是关于$y$的偶函数（即关于$xoz$平面对称）

空间曲线$\Gamma$是关于$z$的偶函数（即关于$xoy$平面对称）