每一次只可跨1阶或2阶，爬100阶的楼梯可有多少种走法题解

1、数学思路

题目要求限制只能走1阶或2阶，2阶可以替换成两个1阶；从可能性上看具体步法罗列出来就是 ：

100个1阶+0个2阶        C100/0

98个1阶+1个2阶          C99/1

96个1阶+2个2阶          C98/2

      ... ...

2个1阶+49个2阶          C51/49

0个1阶+50个2阶          C50/50

然后每一个方式，又有多种组合步法交织可行，依据中学的排列组合就有了后面的 Cm/n 的组合数

总和= C100/0 + C99/1 + C98/2 + ... ... + C51/49 + C50/50。

需要使用Math工具，时间复杂度O(n)。

此解法需要数学基础来联系起来，利用数学公式提高计算效率。实测100阶的步法结果是： 573147844013817084101 ，暴力方法计算需要很长时间。

定理也是经过 分析---归纳---证明 的淬炼，可拿来主义帮我们提高计算效率；类似等差数列求和公式，一步加减法即可求解。

2、逻辑思路

分析逻辑就是将复杂的应用题转化为计算机可执行的步骤，计算机最擅长就是明确的重复计算；

试想最后到100阶的一步，可以是跨2阶到达也可以是跨1阶到达的，对应的前面是走过98阶和走过99阶的两种情况；若前面的98或99阶步法能明确，答案就可出来：

        f(100) = f(99) + f(98)    推演=>    f(n) = f(n-1) + f(n-2)

归纳：

        f(1) = 1， f(2) = 2（2阶有两个走法）， 初验 f(3) = f(2) + f(1) = 2+1 =3 符合预期，

故可以使用递归法将无法计算的量级回归到可手算量级即可，不一定是从 f(1)和f(2)开始，如下：

if n==3:
   return 3
elif n==4:
   return 5

继续分析：

       f(4) = f(3) + f(2)

       f(5) = f(4) + f(3)  = [ f(3) + f(2) ] + f(3)

注：分解步骤发现会出现大量重复计算，导致100阶无法计算出结果，故需增加缓存

cached= [0] * 101  // 减少重复计算，极大提高效率
 
def stepCount(n):
    if cached[n]>0:
        return cached[n]
    print(n)
    if n==1 or n==2:
        return n
    else:
        cached[n] = stepCount(n-2) + stepCount(n-1)
        return cached[n]
 
if __name__ == "__main__":
    print(stepCount(100))

输出结果：

100
98
96
...
6
4
2
3
1
2
5
7
...
95
97
99
573147844013817084101

输出的先偶数后奇数，可以看出递归压栈出栈的过程，更重要的看出缓存生效了。