图是一种非线性数据结构,由顶点和边组成。我们可以将图 (G) 抽象地表示为一组顶点 (V) 和一组边 (E) 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。
V = { 1, 2, 3, 4, 5 } &E = { (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) } &G ={ V, E }
如果将顶点看作节点,将边看作连接各个节点的引用(指针),我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。相较于线性关系(链表)和分治关系(树),网络关系(图)的自由度更高,从而更为复杂。
根据边是否具有方向,可分为无向图和有向图。
根据所有顶点是否连通,可分为连通图和非连通图。
可以为边添加“权重”变量,从而得到有权图。例如在王者荣耀等手游中,系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”,这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
图数据结构包含以下常用术语。
图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。
设图的顶点数量为 (n) ,邻接矩阵使用一个 (n * n) 大小的矩阵来表示图,每一行(列)代表一个顶点,矩阵元素代表边,用 (1) 或 (0) 表示两个顶点之间是否存在边。
设邻接矩阵为 (M)、顶点列表为 (V) ,那么矩阵元素 (M[i, j] = 1) 表示顶点 (V[i]) 到顶点 (V[j]) 之间存在边,反之 (M[i, j] = 0) 表示两顶点之间无边。
邻接矩阵具有以下特性。
使用邻接矩阵表示图时,我们可以直接访问矩阵元素以获取边,因此增删查操作的效率很高,时间复杂度均为 (O(1)) 。然而,矩阵的空间复杂度为 (O(n^2)) ,内存占用较多。
邻接表使用 (n) 个链表来表示图,链表节点表示顶点。第 (i) 条链表对应顶点 (i) ,其中存储了该顶点的所有邻接顶点(即与该顶点相连的顶点)。
邻接表仅存储实际存在的边,而边的总数通常远小于 (n^2) ,因此它更加节省空间。然而,在邻接表中需要通过遍历链表来查找边,因此其时间效率不如邻接矩阵。邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似,因此我们也可以采用类似方法来优化效率。比如当链表较长时,可以将链表转化为 AVL 树或红黑树,从而将时间效率从 (O(n)) 优化至 (O(log n)) ;还可以把链表转换为哈希表,从而将时间复杂度降低至 (O(1)) 。
许多现实系统都可以用图来建模,相应的问题也可以约化为图计算问题。
顶点 | 边 | 图计算问题 | |
---|---|---|---|
社交网络 | 用户 | 好友关系 | 潜在好友推荐 |
地铁线路 | 站点 | 站点间的连通性 | 最短路线推荐 |
太阳系 | 星体 | 星体间的万有引力作用 | 行星轨道计算 |
图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下,实现方式有所不同。
给定一个顶点数量为 (n) 的无向图:
vertices
,使用 (O(n)) 时间;初始化 (n * n) 大小的邻接矩阵 adjMat
,使用 (O(n^2)) 时间。Python:
class GraphAdjMat:
"""基于邻接矩阵实现的无向图类"""
# 顶点列表,元素代表“顶点值”,索引代表“顶点索引”
vertices: list[int] = []
# 邻接矩阵,行列索引对应“顶点索引”
adj_mat: list[list[int]] = []
def __init__(self, vertices: list[int], edges: list[list[int]]):
"""构造方法"""
self.vertices: list[int] = []
self.adj_mat: list[list[int]] = []
# 添加顶点
for val in vertices:
self.add_vertex(val)
# 添加边
# 请注意,edges 元素代表顶点索引,即对应 vertices 元素索引
for e in edges:
self.add_edge(e[0], e[1])
def size(self) -> int:
"""获取顶点数量"""
return len(self.vertices)
def add_vertex(self, val: int):
"""添加顶点"""
n = self.size()
# 向顶点列表中添加新顶点的值
self.vertices.append(val)
# 在邻接矩阵中添加一行
new_row = [0] * n
self.adj_mat.append(new_row)
# 在邻接矩阵中添加一列
for row in self.adj_mat:
row.append(0)
def remove_vertex(self, index: int):
"""删除顶点"""
if index >= self.size():
raise IndexError()
# 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
self.vertices.pop(index)
# 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
self.adj_mat.pop(index)
# 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
for row in self.adj_mat:
row.pop(index)
def add_edge(self, i: int, j: int):
"""添加边"""
# 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
# 索引越界与相等处理
if i < 0 or j < 0 or i >= self.size() or j >= self.size() or i == j:
raise IndexError()
# 在无向图中,邻接矩阵沿主对角线对称,即满足 (i, j) == (j, i)
self.adj_mat[i][j] = 1
self.adj_mat[j][i] = 1
def remove_edge(self, i: int, j: int):
"""删除边"""
# 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
# 索引越界与相等处理
if i < 0 or j < 0 or i >= self.size() or j >= self.size() or i == j:
raise IndexError()
self.adj_mat[i][j] = 0
self.adj_mat[j][i] = 0
def print(self):
"""打印邻接矩阵"""
print("顶点列表 =", self.vertices)
print("邻接矩阵 =")
print_matrix(self.adj_mat)
Go:
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
type graphAdjMat struct {
// 顶点列表,元素代表“顶点值”,索引代表“顶点索引”
vertices []int
// 邻接矩阵,行列索引对应“顶点索引”
adjMat [][]int
}
/* 构造函数 */
func newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat {
// 添加顶点
n := len(vertices)
adjMat := make([][]int, n)
for i := range adjMat {
adjMat[i] = make([]int, n)
}
// 初始化图
g := &graphAdjMat{
vertices: vertices,
adjMat: adjMat,
}
// 添加边
// 请注意,edges 元素代表顶点索引,即对应 vertices 元素索引
for i := range edges {
g.addEdge(edges[i][0], edges[i][1])
}
return g
}
/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjMat) size() int {
return len(g.vertices)
}
/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjMat) addVertex(val int) {
n := g.size()
// 向顶点列表中添加新顶点的值
g.vertices = append(g.vertices, val)
// 在邻接矩阵中添加一行
newRow := make([]int, n)
g.adjMat = append(g.adjMat, newRow)
// 在邻接矩阵中添加一列
for i := range g.adjMat {
g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0)
}
}
/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) {
if index >= g.size() {
return
}
// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
g.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...)
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
g.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...)
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
for i := range g.adjMat {
g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...)
}
}
/* 添加边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) {
// 索引越界与相等处理
if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
}
// 在无向图中,邻接矩阵沿主对角线对称,即满足 (i, j) == (j, i)
g.adjMat[i][j] = 1
g.adjMat[j][i] = 1
}
/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) {
// 索引越界与相等处理
if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
}
g.adjMat[i][j] = 0
g.adjMat[j][i] = 0
}
/* 打印邻接矩阵 */
func (g *graphAdjMat) print() {
fmt.Printf("\t顶点列表 = %v\n", g.vertices)
fmt.Printf("\t邻接矩阵 = \n")
for i := range g.adjMat {
fmt.Printf("\t\t\t%v\n", g.adjMat[i])
}
}
设无向图的顶点总数为 (n)、边总数为 (m) :
在邻接表中使用 Vertex
节点类来表示顶点:
Vertex
,使得每个顶点都是唯一的对象,此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。Python:
class GraphAdjList:
"""基于邻接表实现的无向图类"""
def __init__(self, edges: list[list[Vertex]]):
"""构造方法"""
# 邻接表,key: 顶点,value:该顶点的所有邻接顶点
self.adj_list = dict[Vertex, Vertex]()
# 添加所有顶点和边
for edge in edges:
self.add_vertex(edge[0])
self.add_vertex(edge[1])
self.add_edge(edge[0], edge[1])
def size(self) -> int:
"""获取顶点数量"""
return len(self.adj_list)
def add_edge(self, vet1: Vertex, vet2: Vertex):
"""添加边"""
if vet1 not in self.adj_list or vet2 not in self.adj_list or vet1 == vet2:
raise ValueError()
# 添加边 vet1 - vet2
self.adj_list[vet1].append(vet2)
self.adj_list[vet2].append(vet1)
def remove_edge(self, vet1: Vertex, vet2: Vertex):
"""删除边"""
if vet1 not in self.adj_list or vet2 not in self.adj_list or vet1 == vet2:
raise ValueError()
# 删除边 vet1 - vet2
self.adj_list[vet1].remove(vet2)
self.adj_list[vet2].remove(vet1)
def add_vertex(self, vet: Vertex):
"""添加顶点"""
if vet in self.adj_list:
return
# 在邻接表中添加一个新链表
self.adj_list[vet] = []
def remove_vertex(self, vet: Vertex):
"""删除顶点"""
if vet not in self.adj_list:
raise ValueError()
# 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
self.adj_list.pop(vet)
# 遍历其他顶点的链表,删除所有包含 vet 的边
for vertex in self.adj_list:
if vet in self.adj_list[vertex]:
self.adj_list[vertex].remove(vet)
def print(self):
"""打印邻接表"""
print("邻接表 =")
for vertex in self.adj_list:
tmp = [v.val for v in self.adj_list[vertex]]
print(f"{vertex.val}: {tmp},")
Go:
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
type graphAdjList struct {
// 邻接表,key: 顶点,value:该顶点的所有邻接顶点
adjList map[Vertex][]Vertex
}
/* 构造函数 */
func newGraphAdjList(edges [][]Vertex) *graphAdjList {
g := &graphAdjList{
adjList: make(map[Vertex][]Vertex),
}
// 添加所有顶点和边
for _, edge := range edges {
g.addVertex(edge[0])
g.addVertex(edge[1])
g.addEdge(edge[0], edge[1])
}
return g
}
/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjList) size() int {
return len(g.adjList)
}
/* 添加边 */
func (g *graphAdjList) addEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) {
_, ok1 := g.adjList[vet1]
_, ok2 := g.adjList[vet2]
if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
panic("error")
}
// 添加边 vet1 - vet2, 添加匿名 struct{},
g.adjList[vet1] = append(g.adjList[vet1], vet2)
g.adjList[vet2] = append(g.adjList[vet2], vet1)
}
/* 删除边 */
func (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) {
_, ok1 := g.adjList[vet1]
_, ok2 := g.adjList[vet2]
if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
panic("error")
}
// 删除边 vet1 - vet2
g.adjList[vet1] = DeleteSliceElms(g.adjList[vet1], vet2)
g.adjList[vet2] = DeleteSliceElms(g.adjList[vet2], vet1)
}
/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjList) addVertex(vet Vertex) {
_, ok := g.adjList[vet]
if ok {
return
}
// 在邻接表中添加一个新链表
g.adjList[vet] = make([]Vertex, 0)
}
/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjList) removeVertex(vet Vertex) {
_, ok := g.adjList[vet]
if !ok {
panic("error")
}
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
delete(g.adjList, vet)
// 遍历其他顶点的链表,删除所有包含 vet 的边
for v, list := range g.adjList {
g.adjList[v] = DeleteSliceElms(list, vet)
}
}
/* 打印邻接表 */
func (g *graphAdjList) print() {
var builder strings.Builder
fmt.Printf("邻接表 = \n")
for k, v := range g.adjList {
builder.WriteString("\t\t" + strconv.Itoa(k.Val) + ": ")
for _, vet := range v {
builder.WriteString(strconv.Itoa(vet.Val) + " ")
}
fmt.Println(builder.String())
builder.Reset()
}
}
设图中共有 (n) 个顶点和 (m) 条边,下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
邻接矩阵 | 邻接表(链表) | 邻接表(哈希表) | |
---|---|---|---|
判断是否邻接 | (O(1)) | (O(m)) | (O(1)) |
添加边 | (O(1)) | (O(1)) | (O(1)) |
删除边 | (O(1)) | (O(m)) | (O(1)) |
添加顶点 | (O(n)) | (O(1)) | (O(1)) |
删除顶点 | (O(n^2)) | (O(n + m)) | (O(n)) |
内存空间占用 | (O(n^2)) | (O(n + m)) | (O(n + m)) |
通过观察,似乎邻接表(哈希表)的时间与空间效率最优。但实际上,在邻接矩阵中操作边的效率更高,只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看,邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则,而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
树代表的是“一对多”的关系,而图则具有更高的自由度,可以表示任意的“多对多”关系。因此,可以把树看作是图的一种特例。显然,树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。图和树都都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式可分为两种:广度优先遍历和深度优先遍历。它们也常被称为广度优先搜索和深度优先搜索,简称 BFS 和 DFS 。
广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式,从某个节点出发,始终优先访问距离最近的顶点,并一层层向外扩张。如下图所示,从左上角顶点出发,先遍历该顶点的所有邻接顶点,然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点,以此类推,直至所有顶点访问完毕。
BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质,这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
startVet
加入队列,并开启循环。2.
,直到所有顶点被访问完成后结束。为了防止重复遍历顶点,需要借助一个哈希表 visited
来记录哪些节点已被访问。
Python:
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
"""广度优先遍历 BFS"""
# 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]([start_vet])
# 队列用于实现 BFS
que = deque[Vertex]([start_vet])
# 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while len(que) > 0:
vet = que.popleft() # 队首顶点出队
res.append(vet) # 记录访问顶点
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
if adj_vet in visited:
continue # 跳过已被访问过的顶点
que.append(adj_vet) # 只入队未访问的顶点
visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
# 返回顶点遍历序列
return res
Go:
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
visited[startVet] = struct{}{}
// 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
queue := make([]Vertex, 0)
queue = append(queue, startVet)
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
for len(queue) > 0 {
// 队首顶点出队
vet := queue[0]
queue = queue[1:]
// 记录访问顶点
res = append(res, vet)
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 只入队未访问的顶点
if !isExist {
queue = append(queue, adjVet)
visited[adjVet] = struct{}{}
}
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
参考以下图示以加深理解:
广度优先遍历的序列不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历,而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的。
时间复杂度: 所有顶点都会入队并出队一次,使用 (O(|V|)) 时间;在遍历邻接顶点的过程中,由于是无向图,因此所有边都会被访问 (2) 次,使用 (O(2|E|)) 时间;总体使用 (O(|V| + |E|)) 时间。
空间复杂度: 列表 res
,哈希表 visited
,队列 que
中的顶点数量最多为 (|V|) ,使用 (O(|V|)) 空间。
深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。如下图所示,从左上角顶点出发,访问当前顶点的某个邻接顶点,直到走到尽头时返回,再继续走到尽头并返回,以此类推,直至所有顶点遍历完成。
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似,在深度优先遍历中也需要借助一个哈希表 visited
来记录已被访问的顶点,以避免重复访问顶点。
Python:
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
"""深度优先遍历 DFS 辅助函数"""
res.append(vet) # 记录访问顶点
visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adj_list[vet]:
if adjVet in visited:
continue # 跳过已被访问过的顶点
# 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet)
def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
"""深度优先遍历 DFS"""
# 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]()
dfs(graph, visited, res, start_vet)
return res
Go:
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
// append 操作会返回新的的引用,必须让原引用重新赋值为新slice的引用
*res = append(*res, vet)
visited[vet] = struct{}{}
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 递归访问邻接顶点
if !isExist {
dfs(g, visited, res, adjVet)
}
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
dfs(g, visited, &res, startVet)
// 返回顶点遍历序列
return res
}
参考以下图示以加深理解:
时间复杂度: 所有顶点都会被访问 (1) 次,使用 (O(|V|)) 时间;所有边都会被访问 (2) 次,使用 (O(2|E|)) 时间;总体使用 (O(|V| + |E|)) 时间。
空间复杂度: 列表 res
,哈希表 visited
顶点数量最多为 (|V|) ,递归深度最大为 (|V|) ,因此使用 (O(|V|)) 空间。
References:https://www.hello-algo.com/chapter_graph/