858. Prim算法求最小生成树

858. Prim算法求最小生成树 - AcWing题库

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000010000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

 解析：

prim算法的基本想法：种一棵树，让树从一个节点增长到n个节点
1.初始的时候树只有一个节点，没有边，初始节点可以是任意一个节点
2.每一轮循环找出一条边把它接到树上
3.整个过程都要保证一个性质：
        树是连通图
        没有回路
4.算法循环次数等于节点数量（每一轮循环添加一个节点）

具体操作：
1.树中只有一个节点（任意选这一个节点即可），没有边。
2.用集合 U 来保存选中的节点
3.用集合 T 来保存树的边
4.每次循环把一个点和一条边接到树上：
    e(u,v)表示：边的一个节点在集合U中，一个不在，选出最小的e(u,v)
    将e(u,v)加入T,v加入U中
5.返回这棵树
    

可类比迪杰斯特拉算法，用一个数组标记节点是否属于T。每次从未标记的节点中选出d值最小的，把它的标记（新加入T），同时扫描所有边出边，更新另一个端点的d值，最后，最小生成树的权值总的和就是d[1]+d[2]+····+d[n]

#include
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#include
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#include
#include
 
using namespace std;
typedef long long LL;
 
const int N = 500 + 5, M = 1e5 + 5;
 
int n, m;
int G[N][N], d[N], vis[N];
 
int prim() {
	memset(d, 0x3f3f3f, sizeof(d));//点到生成树的最小距离
	int ret = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int x = -1;
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			//vis[j]==1表示点j在U中
			//x==-1表示可以任选一个点作为初始节点
			// d[x] > d[j]：选出最小的e(u,v)的v
			if (!vis[j] && (x == -1 || d[x] > d[j]))
				x = j;
		}
		//当i！=0即上面的循环选出来的不是第一个点的时候，下面的循环已经更新过d数组的时候，d[x]==0x3f3f3f3f
		if (i && d[x] == 0x3f3f3f3f)
			return 0;
		if (i)
			ret += d[x];
		//更新e(u,v)，用x更新所有点到这棵树的最小距离
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (d[j] > G[x][j])
				d[j] = G[x][j];
		}
		vis[x] = 1;
	}
	return ret;
}
 
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(G, 0x3f3f3f3f, sizeof(G));
	for (int i = 1, a, b, w; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
		G[a][b] = min(G[a][b], w);
		G[b][a] = min(G[b][a], w);
	}
	int ans = prim();
	if (ans == 0)
		cout << "impossible" << endl;
	else
		cout << ans << endl;
	return 0;
}