【洛谷 P1147】连续自然数和 题解（等差数列求和+因式分解+解二元一次方程）

连续自然数和

题目描述

对一个给定的正整数 $M$，求出所有的连续的正整数段（每一段至少有两个数），这些连续的自然数段中的全部数之和为 $M$。

例子：$1998+1999+2000+2001+2002=10000$，所以从 $1998$ 到 $2002$ 的一个自然数段为 $M=10000$ 的一个解。

输入格式

包含一个整数的单独一行给出 $M$ 的值（$10\le M\le 2,000,000$）。

输出格式

每行两个正整数，给出一个满足条件的连续正整数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。

样例 #1

样例输入 #1

10000
1

样例输出 #1

18 142 
297 328 
388 412 
1998 2002
1
2
3
4

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思路

差为1的等差数列求和：
(l + r)(r - l + 1) / 2 = m
(l + r)(r - l + 1) = 2m

将2m分解因数，得到若干组x1、x2
l + r = x1
r - l + 1 = x2

解二元一次方程：
l = x1 - r
r = (x1 + x2 - 1) / 2

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AC代码

#include 
#include 
#include 
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

int main() {
    int m;
    vector<pair<int, int>> v, ans;
    cin >> m;
    // 因数分解
    for(int i = 2; i * i <= m * 2; i++) {
        if(2 * m % i) {
            continue;
        }
        if(i * i != m * 2) {
            v.push_back(mp(i, m * 2 / i));
            v.push_back(mp(m * 2 / i, i));
        } else {
            v.push_back(mp(i, i));
        }
    }
    for(auto &x : v) {
        int x1 = x.first;
        int x2 = x.second;
        // cout << x1 << " " << x2 << endl;
        if((x1 + x2 - 1) % 2) {
            continue;
        }
        int r = (x1 + x2 - 1) / 2;
        int l = x1 - r;
        if(l >= 0 && l <= r) {
            ans.push_back(mp(l, r));
            // cout << l << " " << r << endl;
        }
    }
    sort(ans.begin(), ans.end());
    for(auto &i : ans) {
        cout << i.first << " " << i.second << endl;
    }
    return 0;
}
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