• 宋浩概率论笔记(六)样本与统计量


    参数估计的入门章节,为后面的参数估计与假设检验铺垫基础,难点在于背诵公式,此外对于统计量的理解一定要清晰——本质是多个随机变量复合而成的函数~

    目录

    1.总体与样本

    2.1统计量的定义

    2.2常见的统计量

    3.1抽样分布

    3.2正态总体下的抽样分布 


    考研数学一大纲中对这一章的要求如下:

    1.理解总体、简单随机样本统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为:

    2.了解 x^2分布、 t分布和 F分布的概念及性质,了解上侧分位数的概念并会查表计算.

    3.了解正态总体的常用抽样分布.

            统计量是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。宏观量是大量微观量的统计平均值,具有统计平均的意义,对于单个微观粒子,宏观量是没有意义的.相对于微观量的统计平均性质的宏观量也叫统计量。需要指出的是,描写宏观世界的物理量例如速度、动能等实际上也可以说是宏观量,但宏观量并不都具有统计平均的性质,因而宏观量并不都是统计量。

            抽样的目的是根据样本提供的信息去推断总体的特征,在很多现实的场景中,我们都无法获取被研究对象的全体,这种情况下就只能通过样本对总体进行推断。 

           样本均值(sample mean)又叫样本均数。即为样本的均值。均值是表示一组数据集中趋势的量数,是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。

            样本均值则是在总体中的样本数据的均值。均值是表示一组数据集中趋势的量数,是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。在统计工作中,平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。均值是统计中的一个重要概念。在统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平,它是描述数据集中位置的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况、和平均水平,也可以用它进行不同组数据的比较,以看出组与组之间的差别。用平均数表示一组数据的情况,有直观、简明的特点,所以在日常生活中经常用到,如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。

    1.总体与样本

    • 总体:所研究对象的全部集合——总体中的每一个称为个体
    • 样本:在总体中抽样一部分所得~(样本中所含个数被称为样本容量)
    • 简单随机抽样:与X总体拥有相同的分布,个体的机会均相等~

    2.1统计量的定义

    • 定义:不含有任何未知参数的样本的函数(重点在于说明样本构造的函数~
    • 含有位置参数才一定不是统计量~

    2.2常见的统计量

    • 样本均值
    • 为修正的样本方差
    • 样本方差
    • 修正标准差
    • 样本K阶原点距
    • 样本K阶中心距
    • 协方差
    • 相关系数

    需要注意的是,样本均值和样本方差,与期望和方差的计算方式并不一致,期望是一个常数,而样本均值本身是一个统计量——即由随机变量构成的函数~

    (总体的数字特征和样本的数字特征之间的关系要特别明确~)

    3.1抽样分布

    • 本质上就是构造各种统计量的分布~
    • 卡方分布、t分布和f分布,这里不展开细说,笔记中写的较为详细~

    3.2正态总体下的抽样分布 

    总体已知为正态分布,抽取一部分样本所构造的统计量的分布~

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