算法专题篇四:前缀和

"回忆里的我，比国王富有。奢侈的快乐~" 

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 1、前缀和【模板】

(1) 题目解析

(2) 算法原理         

#include 
using namespace std;
 
const int N = 100010;
// 可能出现溢出
long long arr[N],dp[N];
int n,q;
 
int main() {
    cin >> n >> q;
    // 初始化数组
    for(int i=1;i<=n;++i) cin >> arr[i];
 
    // 创建dp
    for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
 
    // 查询
    while(q--){
        int l,r;
        cin >> l >> r;
        // 计算区间和
        cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
    }
 
    return 0;
}

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 2、DP35 【模板】二维前缀和

(1) 题目解析

        同一维前缀和类似，这类题型都需要预处理出前缀和数组，再求和。

(2) 算法原理         

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int main() {
    int n, m, q;
    long long arr[N][N], dp[N][N];
    cin >> n >> m >> q;
    // 输入数组
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            cin >> arr[i][j];
 
    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
 
    // 查询
    int x1,y1,x2,y2;
    while(q--)
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1] << endl;
    }
 
    return 0;
}

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3、寻找数组的中心下标

(1) 题目解析

        本题的核心在于，存在一个mid，使得sum(0,mid-1) == sum(mid+1,end)。所以，我们只需要求得 (0,mid-1) 区间的值 是否等于 (mid+1,end)的值，就可以判断该mid 是否是中心下标。

(2) 算法原理         

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n+1);
        vector<int> g(n+1);
 
        // 初始化前缀和
        f[0] = g[n-1] = 0;
        for(int i =1;i<=n;++i) f[i] = f[i-1] + nums[i-1];
        for(int i =n-2;i>=0;--i) g[i] = g[i+1] + nums[i+1];
 
        // 判断 0~n-1 迭代下标
        for(int i=0;i
            if(f[i] == g[i]) return i;
        }
        return -1;
    }
};

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4、除自身以外数组的乘积

(1) 题目解析        

        

(2) 算法原理        

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n+1);
        vector<int> g(n+1);
 
        // 初始化前缀和
        f[0] = g[n-1] = 1;
        for(int i=1;i<=n;++i) f[i] = f[i-1]*nums[i-1];
        for(int i=n-2;i>=0;--i) g[i] = g[i+1]*nums[i+1];
 
        // 判断
        vector<int> ret;
        for(int i=0;i
        {   
           ret.push_back(f[i] * g[i]);
        }
        return ret;
    }
};

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5、和为 K 的子数组

(1) 题目解析

        什么是子数组？ 子数组一定是连续的 --> 这本质对应的是前缀和因为前缀和就是连续区间。

(2) 算法原理         

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) { 
        unordered_map<int,int> hash; 
        hash[0] = 1;  // 细节处理
        int sum = 0; // 模拟前缀和
        int count = 0;
        for(auto& num:nums)
        {
            sum += num;
            if(hash.count(sum-k)){
                // 该元素存在
                // 有多少个这个元素 就能找出多少个k
                count += hash[sum-k];
            }  
            // 该元素值个数++
            hash[sum]++;
        }
        return count;
    }
};

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6、和可被 K 整除的子数组

(1) 题目解析        

         相比于上题，这道题无非条件做了些改变，在数组里找到能被k整除的前缀和。不过在开始这道题之前，我们得补充另外一个知识。

同余定理:

        给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

        简单来说，就是这样:

        有了上述的基础，我们再来认识认识这道题。

(2) 算法原理        

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0 % k] = 1; // 0 这个数的余数
 
        int sum = 0,ret = 0;
        for(auto& n:nums)
        {
            sum += n;
            int r = (sum % k + k) % k; // 修正后的余数
            if(hash.count(r)) ret += hash[r];
            hash[r]++;
        }
        return ret;
    }
};

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7、连续数组

(1) 题目解析

    我们可以根据1，-1的性质，因为题目是要找到能够匹配相同数量的0，1数字。当我们将0替换为-1时，如果存在长度相同的0，1数对，那么它们的和为0。反过来，本题就是要找最长子数组元素和为0的长度。     

(2) 算法原理         

class Solution {
public:
    int findMaxLength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        unordered_map<int,int> hash;
        hash[0] = -1;
        int sum = 0;
        int len = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
        {
            sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1;   // 计算前缀和
            if(hash.count(sum)) len = max(len,i - hash[sum]);
            else hash[sum] = i; // 存储下标
        }
        return len;
    }
};

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8、矩阵区域和

(1) 题目解析        

        矩阵和同二维前缀和是相差无几的，都是求区域内的面积。例如上述例子，虽然是求整个矩阵的元素和，但是可以化解为从下标[1,1] 到 下标[3,3] 的前缀和矩阵。

(2) 算法原理

计算前缀和:

      

使用前缀和:

class Solution {
public:
    vectorint>> matrixBlockSum(vectorint>>& mat, int k) {
        int m = mat.size();
        int n = mat[0].size();
 
        // 初始化前缀和
        vectorint>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
        for(int i=1;i<=m;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j) dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + mat[i-1][j-1] - dp[i-1][j-1];
 
        // 使用前缀和
        vectorint>> ret(m,vector<int>(n));
        for(int i=0;i
            for(int j=0;j
            {
                int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
                int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
                ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1];
            }
        return ret;
    }
};

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本篇到此结束，感谢你的阅读。

祝你好运，向阳而生~