背包问题总结

常见的背包

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

背包问题按照如下五部来逐步分析

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

这五步里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以从这两点来对背包问题做一做总结。

背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]]

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

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问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

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遍历顺序01背包

二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

完全背包

纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了

对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了。

总结

背包问题最关键的两步：递推公式和遍历顺序。

如果把我本篇总结出来的内容都掌握的话，对背包问题理解的就很深刻了，用来对付面试中的背包问题绰绰有余。

背包问题总结：