离散数学_十章-图 ( 6 )：欧拉通路与哈密顿通路

1. 欧拉通路与欧拉回路

欧拉通路是一种特殊的图路径，它要求在一个图中通过每条边恰好一次，并且访问每个顶点一次。

1.1 定义

欧拉通路 的定义:

欧拉通路是一种路径，它满足以下两个条件：
①通过每条边恰好一次。
②访问每个顶点一次（起点和终点可以相同或不同）。

欧拉回路：满足欧拉通路，且起点和终点是同一个顶点

1.2 性质

欧拉通路存在的条件和性质如下：

连通性：图必须是连通的，意味着从任意一个顶点可以到达图中的任何其他顶点。如果图不是连通的，那么就不存在欧拉通路。

度数：除了起点和终点外，所有顶点的度数*（无向图中的度数，或有向图中的入度和出度之和）*必须是偶数。

1.3 *寻找欧拉通路(了解)

要找到一个图中的欧拉通路，可以使用一些特定的算法，最常用的是Fleury算法和Hierholzer算法。这些算法可以用来确定欧拉通路是否存在，并找到具体的路径。

Fleury算法：适用于无向图，该算法是一个贪心算法，通过不断选择边来构建欧拉通路。具体步骤包括从一个起始顶点开始，依次选择可行的边，直到无法选择为止。

Hierholzer算法：适用于有向图和无向图，特别适用于多重图（允许重复边的图）。这个算法通过分解问题成子问题，然后合并子问题的解来找到欧拉通路。

2. 哈密顿通路和哈密顿回路

哈密顿通路和哈密顿回路与图中顶点的遍历和连通性有关

2.1 定义

哈密顿通路 的定义:

哈密顿通路是一个图的顶点序列，它满足以下两个条件：

①通过每个顶点恰好一次。
②通常情况下，起点和终点不需要是同一个顶点。但在某些定义中，也允许起点和终点是同一个顶点。

换句话说，哈密顿通路是一个顶点的序列，它从一个顶点开始，经过图中的每个顶点一次，最终返回到起点或不返回，但不重复经过任何顶点。哈密顿通路可以存在于有向图或无向图中。

哈密顿回路 :
哈密顿回路是一个特殊的哈密顿通路，它满足以下两个条件：

①通过每个顶点恰好一次。
②起点和终点是同一个顶点。

哈密顿回路是一个封闭的路径，它从一个顶点出发，通过图中的每个顶点一次，最后回到起点，形成一个环。哈密顿回路只存在于连通图中，而哈密顿通路可以存在于非连通图中。

2.2 性质

哈密顿回路是哈密顿通路的一个特例。（与 欧拉回路和欧拉通路的关系相似）

哈密顿回路存在的充分条件是图的每个顶点的度数都至少为2

哈密顿通路和哈密顿回路问题都属于NP完全问题，意味着在一般情况下，寻找哈密顿通路或哈密顿回路是一个非常复杂的计算问题。

寻找图中的哈密顿通路或哈密顿回路通常不简单，特别是对于大型图。目前还没有已知的高效算法可以在所有情况下解决这个问题。需要使用启发式算法或近似算法来寻找这些通路或回路。

2.3定理

狄拉克定理

一个有n个顶点（ n ≥3 ）的简单图G（无重复边和环的图），对于图中的每个顶点v，度数deg(v) ≥ n/2，那么G一定有哈密顿回路。

它关于图的哈密顿回路的存在性问题提供了一个重要的判定条件。

简单来说，狄拉克定理告诉我们，如果一个图的每个顶点的度数都至少是总顶点数的一半，那么这个图必然包含一个哈密顿回路，也就是一条通过每个顶点恰好一次的封闭路径。

狄拉克定理是充分条件但不是必要条件。这意味着如果一个图满足狄拉克定理所述的条件（每个顶点的度数都不少于总顶点数的一半），那么这个图一定包含一个哈密顿回路；但反之。如果G有哈密顿回路，前面的条件不一定成立。

狄拉克定理的一个重要应用是在解决实际问题中找到哈密顿回路的存在性问题。然而，狄拉克定理的条件是相当严格的，因此在一些情况下可能无法满足。如果一个图不满足狄拉克定理的条件，那么哈密顿回路的存在性问题可能变得更加复杂，需要使用其他方法或算法来解决。

欧尔定理

一个有n个顶点（ n ≥3 ）的简单图G，并且对于G中的每一对不相邻的顶点u和v来说，都有deg(u) + deg(v) ≥ n，那么G有哈密顿回路。

简单来说，欧尔定理告诉我们，如果一个图中每个顶点的度数都至少是总顶点数的一半，那么这个图必然包含一个哈密顿回路。

**（了解原理）欧尔定理的证明思路：
证明欧尔定理的一种常见思路是采用反证法。假设存在一个简单图，每个顶点的度数都不少于总顶点数的一半，但这个图却没有哈密顿回路。

①假设该图没有哈密顿回路。即: 至少有一个顶点v，使得在从v出发的路径中没有办法访问到图中的所有顶点。

②考虑从v出发的路径，将路径分为两个部分，一部分是从v出发的路径，另一部分是从v出发的路径的补集。由于图中每个顶点的度数都不少于总顶点数的一半，那么这两部分路径中的顶点数都至少是n/2（n为总顶点数）。

③将这两部分路径连接起来形成一个更长的路径，这是因为每个顶点的度数都足够高，可以找到足够的边将这两部分路径连接起来。但是，这个更长的路径仍然不能是哈密顿回路，因为从v出发的路径并没有办法访问到图中的所有顶点。

④通过构造这个反例，可以得出结论：如果一个简单图中每个顶点的度数都不少于总顶点数的一半，并且图中没有哈密顿回路，那么存在一个顶点v，使得在从v出发的路径中无法访问到所有顶点。这与假设矛盾，因此，原假设错误
∴图中必然存在一个哈密顿回路。