算法训练营day45|动态规划 part07：完全背包 (LeetCode 70. 爬楼梯(进阶)、322. 零钱兑换、279.完全平方数)

70. 爬楼梯(进阶)(求排列方法数)

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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶

示例 2： 输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

思路分析

之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。这次再用背包做一遍。
这就是一个完全背包的排列问题。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2. 确定递推公式

求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3. dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4. 确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5. 举例来推导dp数组

代码实现

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
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代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题可以AC的代码了。

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322. 零钱兑换(求等于背包重量的最小物品数)

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给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：
输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：
输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

提示：
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4

思路分析

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4. 确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

5. 举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

代码实现

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount+1,INT_MAX-1);
        dp[0]=0;
        for(int i=0;i<coins.size();i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
            }
        }
        if(dp[amount]!=INT_MAX-1) return dp[amount];
        else return -1;
    }
};
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思考总结

本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！

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279.完全平方数 (求等于背包重量的最小物品数)

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给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：
1 <= n <= 10^4

思路分析

完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

跟上道题其实一模一样，直接看代码吧

代码实现

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n+1,INT_MAX);
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            for(int j=i*i;j<=n;j++){
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
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这里dp初始化成INT_MAX而不用担心dp[j-i*i]+1越界，因为物品里面有1，不管背包容量是多少，一定可以凑成。

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