1.2 向量代数

1.向量的概念

定义：

既有大小，又有方向。

向量的表示法
记有向线段的起点A与终点B，从点A指向B的箭头表示了这条线端的方向，线段的长度表示了这条线段的大小，向量就可用这样的一条有向线段来表示，
记作：

$\overrightarrow{AB}$

向量也可以简记为:

$\alpha \beta \gamma$ …等

将向量的长度记为:

|$\overrightarrow{AB}$| 简称为：模

2. 特殊的向量

（1） 单位向量： 模为1的向量；与向量$\vec{a}$同方向的单位向量。

（2）零向量：模为0的向量，记作：$\vec{0}$，规定零向量的方向是任意的方向。

3.向量的关系

（1）向量平行 对于两个非零向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，若它们的方向相同或相反，则称这两个向量平行或共线，记作$\vec{a}$//$\vec{b}$。

（2）向量相等 若两个向量$\vec{a}$，$\vec{b}$的模相等且方向相同，则称这两个向量相等，记作$\vec{a}$=$\vec{b}$。
注：
（1）零向量与任何向量都是平行关系；
（2）若某向量可以在空间中平行移动，所得向量与原向量相等，则称该向量为自由向量。

4.向量的加法

（1）平行四边形法则

（2）三角形法则

（3）三棱锥法则

加法运算规律：
交换律

$\vec{a}$+$\vec{b}$=$\vec{b}$+$\vec{a}$

结合律：

($\vec{a}$+$\vec{b}$)+$\vec{c}$ = $\vec{a}$+($\vec{b}$+$\vec{c}$) =$\vec{a}$+$\vec{b}$+$\vec{c}$

三角形法则可推广到多个向量相加。

向量的减法

$\vec{a}$-$\vec{b}$=$\vec{a}$+(-$\vec{b}$)
特别是$\vec{a}$=$\vec{b}$的时候
$\vec{a}$-$\vec{b}$=0

三角不等式

|$\vec{a}$+$\vec{b}$| $\le$ |$\vec{a}$|+|-$\vec{b}$|
|$\vec{a}$-$\vec{b}$| $\le$ |$\vec{a}$|-|$\vec{b}$|

向量与数的乘法

设是一实数，$\lambda 与的乘积是一新向量，记作\lambda \vec{a}$ 。
模长为：

|$\lambda \vec{a}|=|\lambda ||\vec{a}$|

数乘法运算律：
结合律

$\lambda （\mu \alpha ）=\lambda \mu \alpha =\mu (\lambda \alpha$)

分配律

$\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$
$\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}=\lambda (\vec{a}+\vec{b}$)

若向量$\vec{a}$ $\ne \vec{0}$,
则其单位向量为$\vec{a}=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$

向量的夹角

设有两个向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$平移致使始点重合，且交于点S。把一个向量绕点S在两个向量所确定的平面上旋转，直到方向和另一个向量的方向重合，则称所旋转的角度为向量$\vec{a}$,$\vec{b}$ 的夹角,$\vartheta$=($\vartheta \in$[0,$\pi$]。

特殊的向量夹角

1. $\vartheta$ = 0 $⟵$$⟶$ 向量$\vec{a}$,$\vec{b}$平行，且方向相同；
2. $\vartheta$ = $\pi$ $ \longleftarrow$$⟶$ 向量$\vec{a}$,$\vec{b}$平行，且方向相反；
3. $\vartheta$ = $\frac{\pi }{2}$ $⟵$$⟶$ 向量$\vec{a}$,$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp \vec{b}$；

向量的投影

（1）点在数轴上的投影 已知空间一点M与一数轴u ，过点M 作垂直于数轴u的平面$\beta$，且交点为M′ ，则称点M′为点M在数轴u上的投影，其中数轴u称为投影轴。

（2）向量的投影 设向量𝐶的始点C和终点D在数轴u上的投影点分别是C ′为D ′ ，则称向量$\overrightarrow{C\prime D\prime }$为向量CD的投影向量。记$Prju\overrightarrow{CD}$ = C′ − D′。

图示：

向量投影的计算

定理1 对于任意非零向量$\alpha$，有

$Prju\alpha =|\alpha |\cos \phi$

其中$\phi$是$\alpha$与数轴$u$的夹角。

注：（1）当投影轴与向量成锐角时，向量的投影为正；

​ 当投影轴与向量成钝角时，向量的投影为负；

​ 当投影轴与向量成直角时，向量的投影为零。

​ （2）相等的向量在同一数轴上的投影相等。

定理2： 投影的线性性质 (1) $Prju(\alpha \pm \beta )=Prju\alpha \pm Prju\beta$

​ (2)$Prju(\lambda \alpha )=\lambda Prju\alpha$

向量的坐标

定义3 设向量$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$分别为与x，y，z轴同向的单位向量，则称其为

空间直角坐标系的基本单位向量。

定义4 向径的坐标表示设点M的坐标为（x，y，z ），则向径 r =OM= （x，y，z ）

$r=xi+yj+zk$

定义 若向量$\alpha$分别在x，y，z轴上的投影$\alpha x,\alpha y,\alpha z$组成的有序数组（$\alpha x,\alpha y,\alpha z$）为向量$\alpha$的坐标，记为$\alpha =(\alpha x,\alpha y,\alpha z)$

定义4 设始点M1 (x1,y1,z1) ，终点M2 (x2,y2,z2) ，因此$\overrightarrow{M1M2}$的坐标为$(x2-x1,y2-y1,z2-z1)$

且分解式表达为 $\overrightarrow{M1M2}=(x2-x1)\vec{i}+(y2-y1)\vec{y}+(z2-z1)\vec{z}$

(1) 计算向量的模 $\alpha =(\alpha x,\alpha y,\alpha z)$

$|\alpha |=\sqrt{\alpha x^2+\alpha y^2+\alpha z^2}$

(2)向量的方向角

​ 若向量$\alpha$与下，x,y,z轴正向的夹角分别为$\alpha ,\beta ,\gamma$,则称$\alpha ,\beta ,\gamma$为方向量$\alpha$在x,y,z,轴方向角。$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$分别称为方向余弦。

且有：

$$\alpha x=|\alpha |\cos \alpha ,\alpha y=|\alpha |\cos \beta ,\alpha z=|\alpha |\cos \gamma$$

以及有：

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

向量坐标运算

设$a=(ax,ay,az),\beta =(bx,by,bz)$

则$\alpha \pm \beta =(ax\pm bx,ay\pm by,az\pm bz)$

$\lambda \alpha =(\lambda ax,\lambda ay,\lambda az)\lambda \in R$

向量坐标运算

设$a=(ax,ay,az),\beta =(bx,by,bz)$

则$\alpha \pm \beta =(ax\pm bx,ay\pm by,az\pm bz)$

$\lambda \alpha =(\lambda ax,\lambda ay,\lambda az)\lambda \in R$