构建以新能源为主体的新型电力系统，是我国实现“碳达峰”“碳中和” 目标的一项重要措施。塔式太阳能光热发电是一种低碳环保的新型清洁能源技术[1]。
定日镜是塔式太阳能光热发电站（以下简称塔式电站）收集太阳能的基本组件，其底座由纵向转轴和水平转轴组成，平面反射镜安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，可以控制反射镜的方位角。水平转轴的轴线与地面平行，可以控制反射镜的俯仰角，定日镜及底座示意图见图 1。 两转轴的交点（也是定日镜中心） 离地面的高度称为定日镜的安装高度。塔式电站利用大量的定日镜组成阵列，称为定日镜场。定日镜将太阳光反射汇聚到安装在镜场中吸收塔顶端上的集热器，加热其中的导热介质，并将太阳能以热能形式储存起来， 再经过热交换实现由热能向电能的转化。 太阳光并非平行光线， 而是具有一定锥形角的一束锥形光线，因此太阳入射光线经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线[2]。 定日镜在工作时，控制系统根据太阳的位置实时控制定日镜的法向，使得太阳中心点发出的光线经定日镜中心反射后指向集热器中心。 集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。
现计划在中心位于东经 98.5∘，北纬 39.4∘， 海拔 3000 m， 半径 350 m 的圆形区域内建设以圆形区域中心为原点，正东方向为 𝑥 轴正向，正北方向为 𝑦 轴正向， 垂直于地面向上方向为 z 轴正向建立坐标系，称为镜场坐标系。规划的吸收塔高度为 80 m，集热器采用高 8 m、直径 7 m 的圆柱形外表受光式集热器。吸收塔周围 100 m 范围内不安装定日镜，留出空地建造厂房，用于安装发电、储能、控制等设备。
定日镜的形状为平面矩形，其上下两条边始终平行于地面，这两条边之间的距离称为镜面高度，镜面左右两条边之间的距离称为镜面宽度，通常镜面宽度不小于镜面高度。镜面边长在 2 m 至8 m 之间，安装高度在 2 m 至 6 m 之间，安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及地面。由于维护及清洗车辆行驶的需要，要求相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多 5 m以上。
为简化计算，本问题中所有“年均”指标的计算时点均为当地时间每月 21 日 9:00、 10:30、12:00、 13:30、 15:00。请建立模型解决以下问题：问题 1 ：若将吸收塔建于该圆形定日镜场中心，定日镜尺寸均为 6 m× 6 m，安装高度均为4 m，且给定所有定日镜中心的位置（以下简称为定日镜位置，相关数据见附件） ，请计算该定日镜场的年平均光学效率、 年平均输出热功率，以及单位镜面面积年平均输出热功率（光学效率及输出热功率的定义见附录）。请将结果分别按表 1 和表 2 的格式填入表格。
问题 2 ：按设计要求，定日镜场的额定年平均输出热功率（以下简称额定功率）为 60 MW。若所有定日镜尺寸及安装高度相同， 请设计定日镜场的以下参数：吸收塔的位置坐标、 定日镜尺寸、 安装高度、 定日镜数目、定日镜位置， 使得定日镜场在达到额定功率的条件下， 单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。 请将结果分别按表 1、 2、 3 的格式填入表格， 并将吸收塔的位置坐标、 定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到 result2.xlsx 文件中。
问题 3 ：如果定日镜尺寸可以不同，安装高度也可以不同， 额定功率设置同问题 2， 请重新设计定日镜场的各个参数， 使得定日镜场在达到额定功率的条件下， 单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。请将结果分别按表 1、 表 2 和表 3 的格式填入表格，并将吸收塔的位置坐标、 各定日镜尺寸、安装高度、位置坐标按模板规定的格式保存到 result3.xlsx 文件中。
单波束测深是利用声波在水中的传播特性来测量水体深度的技术。声波在均匀介质中作匀速直线传播，在不同界面上产生反射，利用这一原理，从测量船换能器垂直向海底发射声波信号，并记录从声波发射到信号接收的传播时间，通过声波在海水中的传播速度和传播时间计算出海水的深度，其工作原理如图 1 所示。由于单波束测深过程中采取单点连续的测量方法，因此，其测深数据分布的特点是，沿航迹的数据十分密集，而在测线间没有数据。
多波束测深系统是在单波束测深的基础上发展起来的，该系统在与航迹垂直的平面内一次能发射出数十个乃至上百个波束，再由接收换能器接收由海底返回的声波，其工作原理如图 2所示。多波束测深系统克服了单波束测深的缺点，在海底平坦的海域内，能够测量出以测量船测线为轴线且具有一定宽度的全覆盖水深条带（图 3）。多波束测深条带的覆盖宽度 𝑊 随换能器开角 𝜃 和水深 𝐷 的变化而变化。 若测线相互平行且海底地形平坦，则相邻条带之间的重叠率定义为 𝜂 = 1 - 𝑑𝑊，其中 𝑑 为相邻两条测线的间距， 𝑊 为条带的覆盖宽度（图 4）。若 𝜂 < 0，则表示漏测。为保证测量的便利性和数据的完整性，相邻条带之间应有 10%~20% 的重叠率。但真实海底地形起伏变化大，若采用海区平均水深设计测线间隔，虽然条带之间的平均重叠率可以满足要求，但在水深较浅处会出现漏测的情况（图 5），影响测量质量；若采用海区最浅处水深设计测线间隔，虽然最浅处的重叠率可以满足要求，但在水深较深处会出现重叠过多的情况（图 6）， 数据冗余量大，影响测量效率。问题 1 ：与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 𝛼 的斜线（图7），称 𝛼 为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。若多波束换能器的开角为 120∘，坡度为 1.5∘，海域中心点处的海水深度为 70 m，利用上述模型计算表 1 中所列位置的指标值，将结果以表 1 的格式放在正文中，同时保存到 result1.xlsx文件中。
问题 2 ：考虑一个矩形待测海域（图 8），测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角为 𝛽，请建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。若多波束换能器的开角为 120∘，坡度为 1.5∘，海域中心点处的海水深度为 120 m，利用上述模型计算表 2 中所列位置多波束测深的覆盖宽度，将结果以表 2 的格式放在正文中，同时保存到 result2.xlsx 文件中。
问题 3 考虑一个南北长 2 海里、东西宽 4 海里的矩形海域内，海域中心点处的海水深度、为 110 m，西深东浅，坡度为 1.5∘，多波束换能器的开角为 120∘。请设计一组测量长度最短、可完全覆盖整个待测海域的测线，且相邻条带之间的重叠率满足 10%~20% 的要求。
问题 4 ：海水深度数据（附件.xlsx）是若干年前某海域（南北长 5 海里、东西宽 4 海里）单波束测量的测深数据，现希望利用这组数据为多波束测量船的测量布线提供帮助。在设计测线时，有如下要求： (1) 沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个待测海域； (2) 相邻条带之间的重叠率尽量控制在 20% 以下； (3) 测线的总长度尽可能短。 在设计出具体的测线后，请计算如下指标： (1) 测线的总长度； (2) 漏测海区占总待测海域面积的百分比； (3) 在重叠区域中，重叠率超过 20% 部分的总长度。注：在附件中，横、纵坐标的单位是海里，海水深度的单位是米。 1 海里=1852 米。
在生鲜商超中，一般蔬菜类商品的保鲜期都比较短，且品相随销售时间的增加而变差，大部分品种如当日未售出，隔日就无法再售。因此，商超通常会根据各商品的历史销售和需求情况每天进行补货。
由于商超销售的蔬菜品种众多、产地不尽相同，而蔬菜的进货交易时间通常在凌晨 3:00-4:00，为此商家须在不确切知道具体单品和进货价格的情况下，做出当日各蔬菜品类的补货决策。蔬菜的定价一般采用“成本加成定价”方法，商超对运损和品相变差的商品通常进行打折销售。可靠的市场需求分析，对补货决策和定价决策尤为重要。从需求侧来看，蔬菜类商品的销售量与时间往往存在一定的关联关系；从供给侧来看，蔬菜的供应品种在 4 月至 10月较为丰富，商超销售空间的限制使得合理的销售组合变得极为重要。
附件 1 给出了某商超经销的 6 个蔬菜品类的商品信息；附件 2 和附件 3 分别给出了该商超 2020 年 7 月 1 日至 2023 年 6 月 30 日各商品的销售流水明细与批发价格的相关数据；附件 4 给出了各商品近期的损耗率数据。请根据附件和实际情况建立数学模型解决以下问题：
问题 1：蔬菜类商品不同品类或不同单品之间可能存在一定的关联关系，请分析蔬菜各品类及单品销售量的分布规律及相互关系。
问题 2：考虑商超以品类为单位做补货计划，请分析各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价的关系，并给出各蔬菜品类未来一周（2023 年 7 月 1-7 日）的日补货总量和定价策略，使得商超收益最大。
问题 3 ：因蔬菜类商品的销售空间有限，商超希望进一步制定单品的补货计划，要求可售单品总数控制在 27-33 个，且各单品订购量满足最小陈列量 2.5 千克的要求。根据 2023年 6 月 24-30 日的可售品种，给出 7 月 1 日的单品补货量和定价策略，在尽量满足市场对各品类蔬菜商品需求的前提下，使得商超收益最大。
问题 4：为了更好地制定蔬菜商品的补货和定价决策，商超还需要采集哪些相关据，这些数据对解决上述问题有何帮助，请给出你们的意见和理由。