剑指 Offer 04. 二维数组中的查找

题目描述

        在一个 n * m 的二维数组中，每一行都按照从左到右 非递减 的顺序排序，每一列都按照从上到下 非递减 的顺序排序。请完成一个高效的函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。

解题思路

注意每一行和每一列都是非递减的顺序，也就是说第[i][j]个位置数值小于等于[i+1][j]和[i][j+1]下标的值。

方法一：二分搜索

        由于每行和每列都是非递减的，我们可以使用二分搜索来加速搜索过程。可以选择从右上角开始，对当前元素与目标值进行比较，如果当前元素比目标值大，就向左移动一列，否则向下移动一行。重复这个过程，直到找到目标值或者搜索范围为空。

        为什么选择从右上角／左下角开始？以右上角举例，右上角的元素是当前行的最大元素，同时是列的最小元素，如果目标比右上角元素大则一定在当前行下方，向下移动；如果目标比右上角元素小则一定在当前行左方，向左移动。这样根据当前元素与目标值的大小关系来缩小搜索范围。        

        这个方法的时间复杂度是 O(nlogm) 或 O(mlogn)，具体取决于数组的大小和目标值的位置；空间复杂度为 O(1)

方法二：分治法

将二维数组分成四个子问题，然后递归地解决它们。具体步骤如下：

1. 找到数组的中心元素（例如，中间行的中间列），将数组分成四个子数组：左上、右上、左下和右下。

2. 检查中心元素与目标值的大小关系，如果中心元素等于目标值，返回 true。

3. 如果中心元素比目标值大，递归地在左上和左下子数组中查找目标值。

4. 如果中心元素比目标值小，递归地在右上和右下子数组中查找目标值。

这个方法的时间复杂度取决于递归的深度，通常为 O(log(n+m))；分治法在递归过程中会产生一些额外的递归调用栈，因此其空间复杂度取决于递归的深度。在最坏情况下，递归深度可能达到数组的行数和列数的较大者，因此空间复杂度可以达到 O(n) 或 O(m)，其中 n 是数组的行数，m 是数组的列数。

代码及结果

二分法

bool Solution::findNumberIn2DArray(std::vectorint>>& matrix, int target)
{
    if (matrix.empty())
        return false;
 
    int rows = matrix.size();
    int cols = matrix[0].size();
 
    int row = 0;
    int col = cols - 1;
 
    while (row < rows && col >= 0)
    {
        if (matrix[row][col] == target)
            return true;
        else if (matrix[row][col] < target)
            ++row;
        else
            --col;
    }
    return false;
}

 

分治法

bool Solution::search(std::vectorint>>& matrix, int target, int row1, int col1, int row2, int col2)
{
    if (row1 > row2 || col1 > col2) {
        return false; // 子矩阵为空，直接返回false
    }
 
    int midRow = (row1 + row2) / 2;
    int midCol = (col1 + col2) / 2;
    int midValue = matrix[midRow][midCol];
 
    if (midValue == target) {
        return true; // 找到目标值
    }
    else if (midValue < target) {
        // 目标值可能在右下、右上、左下子矩阵中
        return search(matrix, target, row1, midCol + 1, midRow, col2) || // 右下子矩阵
            search(matrix, target, midRow + 1, col1, row2, midCol); // 左下子矩阵
    }
    else {
        // 目标值可能在左上子矩阵中
        return search(matrix, target, row1, col1, midRow, midCol - 1); // 左上子矩阵
    }
}
 
bool Solution::findNumberIn2DArray(std::vectorint>>& matrix, int target)
{
    if (matrix.empty())
        return false;
 
    int rows = matrix.size();
    int cols = matrix[0].size();
 
    return search(matrix, target, 0, 0, rows - 1, cols - 1);
}