f
(
x
,
y
)
=
i
(
x
,
y
)
r
(
x
,
y
)
f(x, y) = i(x, y) r(x, y)
f(x,y)=i(x,y)r(x,y)，其中
i
(
x
,
y
)
i(x, y)
i(x,y)
r
(
x
,
y
)
r(x, y)
r(x,y) 分别为入射分量和反射分量
图像取样与量化
目的：将连续的图像转换为数字形式
对坐标值进行数字化为取样；对幅值数字化称为量化
量化的精度依赖于所用的离散级数和取样信号的噪声
数字图像表示
显示成灰度阵列
显示为二维数字阵列
离散灰度级
为了便于储存，常取2的整数次幂
动态范围：系统中最大可度量灰度与最小可检测灰度之比
上限取决于饱和度，下限取决于噪声
对比度：图像中最高与最低灰度级间的灰度差
k 比特图像：图像有
2
k
2^k
2k 个灰度级，需要
M
×
N
×
k
M\times N\times k
M×N×k 比特来储存
空间分辨率
度量方法：每单位距离线对数和每单位距离像素数
灰度分辨率
定义：用于量化灰度的比特数，一般为8比特
图像内插
基本的图像重取样方法，通过内插来调整图像的大小
最邻近内插：会导致某些直边缘的严重失真
双线性内插：
v
(
x
,
y
)
=
a
x
+
b
y
+
c
x
y
+
d
v(x,y)=ax+by+cxy+d
v(x,y)=ax+by+cxy+d
双三次内插：
v
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
0
3
∑
j
=
0
3
a
i
,
j
x
i
y
j
v(x,y)=\sum^3_{i=0}\sum^3_{j=0}a_{i,j}x^iy^j
v(x,y)=∑i=03∑j=03ai,jxiyj
像素间基本关系
相邻像素（4邻域）：
(
x
+
1
,
y
)
,
(
x
−
1
,
y
)
,
(
x
,
y
+
1
)
,
(
x
,
y
−
1
)
(x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)
(x+1,y),(x−1,y),(x,y+1),(x,y−1)
对角相邻像素（与相邻像素共称为8邻域）：
(
x
−
1
,
y
+
1
)
,
(
x
+
1
,
y
+
1
)
,
(
x
−
1
,
y
−
1
)
,
(
x
+
1
,
y
−
1
)
(x-1,y+1),(x+1,y+1),(x-1,y-1),(x+1,y-1)
(x−1,y+1),(x+1,y+1),(x−1,y−1),(x+1,y−1)
邻接性、连通性、区域与边界
4邻接、8邻接、m邻接
闭合通路、连通分量、联通集
内边界、外边界
一个有限区域的边界形成一条闭合通路
距离度量
距离或度量必须满足三个条件：
D
(
p
,
q
)
≥
0
D(p,q)≥0
D(p,q)≥0，
D
(
p
,
q
)
=
0
D(p,q)=0
D(p,q)=0 当且仅当
p
=
q
p=q
p=q
D
(
p
,
q
)
=
D
(
q
,
p
)
D(p,q)=D(q,p)
D(p,q)=D(q,p)
D
(
p
,
z
)
≤
D
(
p
,
q
)
+
D
(
q
,
z
)
D(p,z)≤D(p,q)+D(q,z)
D(p,z)≤D(p,q)+D(q,z)
欧式距离：
D
e
(
p
,
q
)
=
[
(
x
−
s
)
2
+
(
y
−
t
)
2
)
]
1
2
D_e(p,q)=[(x-s)^2+(y-t)^2)]^{\frac{1}{2}}
De(p,q)=[(x−s)2+(y−t)2)]21
D
4
D_4
D4（城市街区距离）：
D
4
(
p
,
q
)
=
∣
x
−
s
∣
+
∣
y
−
t
∣
D_4(p,q)=|x-s|+|y-t|
D4(p,q)=∣x−s∣+∣y−t∣
其中
D
4
=
1
D_4 = 1
D4=1 的像素是
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 的4邻域
D
8
D_8
D8 （棋盘距离）：
D
8
(
p
,
q
)
=
m
a
x
(
∣
x
−
s
∣
,
∣
y
−
t
∣
)
D_8(p,q)=max(|x-s|,|y-t|)
D8(p,q)=max(∣x−s∣,∣y−t∣)
其中
D
8
=
1
D_8 = 1
D8=1 的像素是
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 的8邻域
数学工具
阵列与矩阵操作
线性操作与非线性操作
算术操作：对应像素间的加减乘除
对含噪声图片进行图像平均
增强差别的图像相减
使用图像相乘或相除来矫正阴影
图像标准化操作（0-K）：
f
m
=
f
−
m
i
n
(
f
)
;
f
s
=
K
[
f
m
/
m
a
x
(
f
m
)
]
f_m=f-min(f);\ f_s=K[f_m/max(f_m)]
fm=f−min(f);fs=K[fm/max(fm)]
集合与逻辑操作
灰度图像的补集：
A
c
=
{
(
x
,
y
,
K
−
z
∣
(
x
,
y
,
z
)
∈
A
}
A^c=\{(x,y,K-z|(x,y,z)\in A\}
Ac={(x,y,K−z∣(x,y,z)∈A}
灰度图像的并集：
A
⋃
B
=
{
m
a
x
z
(
a
,
b
)
∣
a
∈
A
,
b
∈
B
}
A\bigcup B=\{max_z(a,b)|a\in A,b \in B\}
A⋃B={maxz(a,b)∣a∈A,b∈B}
空间操作
单像素操作：以灰度为基础直接改变单个像素的值，
s
=
T
(
z
)
s=T(z)
s=T(z) 邻域操作：如取平均，
g
(
x
,
y
)
=
1
m
n
∑
(
r
,
c
)
∈
S
x
y
f
(
r
,
c
)
g(x,y)=\frac{1}{mn}\sum _{(r,c)\in S_{xy}}f(r,c)
g(x,y)=mn1∑(r,c)∈Sxyf(r,c)
几何空间变换与图像配准：仿射变换
向量与矩阵操作
图像变换：对输入图像进行变换，在变换域执行指定的任务，再用反变换返回空间域
二维线性变换
T
(
u
,
v
)
=
∑
u
=
0
M
−
1
∑
v
=
0
N
−
1
f
(
x
,
y
)
r
(
x
,
y
,
u
,
v
)
T(u,v)=\sum^{M-1}_{u=0}\sum^{N-1}_{v=0}f(x,y)r(x,y,u,v)
T(u,v)=∑u=0M−1∑v=0N−1f(x,y)r(x,y,u,v)
f
(
x
,
y
)
=
∑
u
=
0
M
−
1
∑
v
=
0
N
−
1
T
(
u
,
v
)
s
(
x
,
y
,
u
,
v
)
f(x,y)=\sum^{M-1}_{u=0}\sum^{N-1}_{v=0}T(u,v)s(x,y,u,v)
f(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1T(u,v)s(x,y,u,v) 其中，
r
(
x
,
y
,
u
,
v
)
r(x,y,u,v)
r(x,y,u,v) 称为正变换核，
s
(
x
,
y
,
u
,
v
)
s(x,y,u,v)
s(x,y,u,v) 称为反变换核
概率方法 令
z
i
,
i
=
0
，
1
，
2
，
…
L
−
1
z_i,i=0，1，2，…L-1
zi,i=0，1，2，…L−1 表示一幅
M
×
N
M×N
M×N 大小数字图像中所有可能的灰度值
灰度级
z
k
z_k
zk 出现的概率：
p
(
z
k
)
=
n
k
M
N
p(z_k)=\frac{n_k}{MN}
p(zk)=MNnk
平均灰度：
m
=
∑
k
=
0
L
−
1
p
(
z
k
)
=
1
m=\sum^{L-1}_{k=0}p(z_k)=1
m=∑k=0L−1p(zk)=1
灰度的方差：
σ
2
=
∑
k
=
0
L
−
1
(
z
k
−
m
)
2
p
(
z
k
)
\sigma^2=\sum^{L-1}_{k=0}(z_k-m)^2p(z_k)
σ2=∑k=0L−1(zk−m)2p(zk)